2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #13
已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=45$，$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是_____．
每日一题[3715]伪装数列
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #11
已知不等式 $a_n^2+\left(\dfrac{S_n}n\right)^2\geqslant \lambda a_1^2$ 对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lambda$ 的最大值为_____．
每日一题[3714]三角计算
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #8
在复平面上复数 $z_1,z_2$ 对应的点分别为 $Z_1,Z_2$，$O$ 为原点，若 $|z_1|=4$，$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，则 $\triangle OZ_1Z_2$ 的面积为_____．
每日一题[3713]二项式变形
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7
已知 $(5+x-5x^2)^{1012}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2024}x^{2024}$，则 $2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=$ _____．
每日一题[3712]分数近似
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #5
已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m,n\leqslant 1000$，则 $\dfrac m{n+1}<\sqrt 3<\dfrac{m+1}n$ 的解 $(m,n)$ 的个数为_____．
每日一题[3709]数列宽度半径
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #31
已知数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 为 $2 m$ 个数 $1,2,\cdots,2 m$ 的一个排列，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m\geqslant 3$．若在集合 $\{1,2,\cdots,2 m-1\}$ 中至少有一个元素 $i$ 使得 $\left|a_i-a_{i+1}\right|=m$，则称数列 $A$ 具有性质 $P$．
1、当 $m=3$ 时，判断数列 $B: 1,5,3,4,6,2$ 和数列 $C: 6,5,2,4,1,3$ 是否具有性质 $P$；
2、若数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 n}\right\}$（$n=1,2,\cdots,m$）均为等差数列，且 $a_1=1$，$a_{2 m}=2$，证明：对于所有的偶数 $m$，数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 不具有性质 $P$；
3、在所有由 $1,2,\cdots,2 m$ 的排列组成的数列中，记具有性质 $P$ 的数列的个数为 $S$，不具有性质 $P$ 的数列的个数为 $T$，证明：对于任意 $m$（$m\geqslant 3$），$S>T$．
每日一题[3708]零点分布
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\ln (a x+1)-x$，其中 $a>0$．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处切线的方程；
2、当 $a=2$ 时，证明：对任意的 $t\in(0,+\infty)$，曲线 $y=f(x)$ 总在直线 $y=x+t$ 的下方；
3、若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$，且 $0<x_2-x_1<1$，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[3707]中点驱动
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左右顶点分别为 $A_1,A_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $T(0,1)$，$\triangle TA_1 A_2$ 的面积为 $2$．
1、 求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $T$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $E$ 于点 $C,D$，线段 $CD$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $Q$，点 $Q$ 关于直线 $CD$ 的对称点为 $P$．若四边形 $PCQD$ 为正方形，求 $k$ 的值．