Math173

2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #18

已知 $\triangle DEF$ 的顶点 $E$ 在 $x$ 轴上，$F\left(\dfrac 1 4,0\right)$，$|DF|=|EF|$，且边 $DE$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上，设 $D$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$． 1、求 $\Gamma$ 的方程；

2、若正三角形 $ABC$ 的三个顶点都在 $\Gamma$ 上，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$，求 $|AB|$．

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2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #13

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ 且 $\dfrac 1{\tan A}+\dfrac 2{\tan B}=\dfrac 3{\tan C}$，则 $\dfrac{c^2}{a^2+2 b^2}=$ _____．

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2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #8

已知直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\dfrac{\pi}4$，若直线 $n\subset\alpha$，直线 $m\subset\beta$，设 $m$ 与 $n$ 的夹角为 $\theta_1$，$\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角为 $\theta_2$，则[[nn]]

A．$\theta_1\geqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\geqslant\dfrac{\pi}4$

B．$\theta_1\geqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\leqslant\dfrac{\pi}4$

C．$\theta_1\leqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\geqslant\dfrac{\pi}4$

D．$\theta_1\leqslant\dfrac{\pi}4$，$\theta_2\leqslant\dfrac{\pi}4$

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #19

在正整数 $1,2, \cdots, n$（$n \geqslant 2$）的任意一个排列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中，对于任意 $i, j \in \mathbb{N}^{\ast}$，$i<j$，若 $a_i<a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 为一个顺序对，若 $a_i>a_j$，则称 $(a_i,a_j)$ 是一个逆序对．记排列 $A$ 中顺序对的个数为 $S(A)$，逆序对的个数为 $N(A)$．例如对于排列 $A: 2,1,3$，有 $S(A)=2$，$N(A)=1$．

1、设排列 $B: 2,4,1,3$ 和 $C: 5,3,1,4,2$，试写出 $S(B), N(B), S(C),N(C)$ 的值．

2、对于正整数 $1,2, \cdots, n$（$n \geqslant 2$）的所有排列 $A$，求满足 $S(A)=2$ 的排列个数；

3、如果把排列 $A: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 中两项 $a_i, a_j$（$i<j$）交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列 $A^{\prime}$，求证：$\left(S(A)-S\left(A^{\prime}\right)\right) \cdot\left(N(A)-N\left(A^{\prime}\right)\right)$ 为奇数．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #17

已知椭圆 $C:~\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，长轴长与短轴长之和为 $ 6$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、已知 $M(-1,0), N(1,0)$，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，设直线 $P M$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $B$，直线 $P N$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为点 $D$．设 $\overrightarrow{P M}=\lambda_1 \overrightarrow{M B}$，$\overrightarrow{P N}=\lambda_2 \overrightarrow{N D}$．求证：当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，$\lambda_1+\lambda_2$ 为定值．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #16

如左图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$Q_1, Q_2$ 分别为正方形 $A B C D,A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心，现保持平面 $A B C D$ 不动，在上底面 $A_1 C_1$ 内将正方形 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 绕点 $Q_2$ 逆时针方向旋转 $45^{\circ}$，得到如右图所示的一个十面体 $A B C D-E F G H$．

1、证明：$E F\parallel ~\text{平面}~A B C D$；

2、设 $Q_1 Q_2$ 的中点为 $O$，求点 $O$ 到平面 $D B E$ 的距离；

3、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值．

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #14

随机将 $1,2, \cdots, 2 n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$n \geqslant 2$）这 $2 n$ 个连续正整数分成 $A, B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最大数为 $a$，$B$ 组最大数为 $b$，记 $\xi=|a-b|$．当 $n=3$ 时，$\xi$ 的数学期望 $E(\xi)=$ _____；若对任意 $n \geqslant 2$，$E(\xi)<c$ 恒成立，则 $c$ 的最小值为_____．

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2025年上海市春季高考数学试卷 #16

已知 $a \in \mathbb{R}$，关于 $x$ 的不等式 $\left(\tan\dfrac{\pi x}{6} -a\right)\left(\tan \dfrac{\pi x}{6} -a-1\right)<0$ 在 $(0,2025)$ 中的整数解有 $m$ 个．关于 $m$ 的取值，以下不可能的是（       ）

A．$0$

B．$338$

C．$674$

D．$1012$

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2024年12月广东省广州市高三调研数学试卷 #11

设直线 $y=t$ 与函数 $f(x)=x(x-3)^2$ 图象的三个交点分别为 $A(a, t), B(b, t), C(c, t)$，且 $a<b<c$，则（       ）

A．$f(x)$ 图象的对称中心为 $(2,2)$

B．$a b c$ 的取值范围为 $(0,12)$

C．$a c$ 的取值范围为 $(0,4)$

D．$c-a$ 的取值范围为 $\left(3,2 \sqrt{3}\right]$

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2025年上海市春季高考数学试卷 #12

在平面中，$\boldsymbol{e}_1$ 和 $\boldsymbol{e}_2$ 是互相垂直的单位向量，向量 $\boldsymbol{a}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{e_1}\right|=2$，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{b}-6 \boldsymbol{e_2}\right|=1$，则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影数量的最大值是_____．

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