2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14
质点每次都在四边形 $ABCD$ 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在 $A$ 点，则经过 $2$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____，经过 $n$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____．
答案 $\dfrac 18$；$\dfrac 14+\left(-\dfrac 12\right)^{n+1}$．
解析 设经过 $n$ 次移动位于 $A,BD,C$ 点的概率分别为 $a_n,b_n,c_n$，从而\[\begin{pmatrix}a_{n+1}\\ b_{n+1}\\ c_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&\dfrac 14&\dfrac 12\\ \dfrac 12&\dfrac 12&\dfrac12\\ \dfrac 12&\dfrac 14&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_n\\ b_n \\ c_n\end{pmatrix},\]且 $(a_0,b_0,c_0)=(1,0,0)$，于是\[(a_1,b_1,c_1)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 12\right),\quad (a_2,b_2,c_2)=\left(\dfrac 38,\dfrac 12,\dfrac 18\right),\]注意到\[b_{n+1}=\dfrac 12(a_n+b_n+c_n)=\dfrac 12,\]有\[a_{n+1}=\dfrac 14b_n+\dfrac 12c_n=\dfrac 18+\dfrac 12\left(\dfrac 12-a_n\right),\]即\[a_{n+1}=\dfrac 38-\dfrac 12a_n\iff a_{n+1}-\dfrac 14=-\dfrac 12\left(a_n-\dfrac 14\right)\iff a_n=\dfrac 14-\left(-\dfrac 12\right)^{n+1},n\in\mathbb N^{\ast},\]进而 $c_n=\dfrac 14+\left(-\dfrac 12\right)^{n+1}$．