2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 5 2-\dfrac 1{a_n}$（$n=1,2,3,\cdots$）．下列四个结论中所有正确结论的序号是_____．
① 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有无穷多个元素；
② 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有有限个元素；
③ 对于任意的 $a_1$，集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中至多有一个元素；
④ 当 $a_1=1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n<a_{n+1}<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}=\mathbb N^{\ast}$．
答案 ②③④．
解析 迭代函数 $f(x)=\dfrac 52-\dfrac 1x$ 对应的不动点为 $x=\dfrac 12,2$，如图．
当 $a_1<0$ 时，$\{a_n\}$ 先单调递减直至变成负数，然后变为大于 $2$ 的正数，最后单调递减趋于 $2$；
当 $0<a_1<\dfrac 12$ 时，$\{a_n\}$ 单调递增趋于 $ \dfrac 12 $；
当 $ \dfrac 12<a_1<2 $ 时，$ \{a_n\} $ 单调递增趋于 $ 2 $，结论 ④ 正确；
当 $ a_1>2 $ 时，$ \{a_n\} $ 单调递减趋于 $ 2 $；
当 $ a_1<0 $ 时，有 $ a_2>\dfrac 52 $，进而 $ \{a_n\} $ 从第 $ 2 $ 项起单调递减趋于 $ 2$，结论 ① 错误，结论 ②③ 正确；
综上所述，所有正确结论的序号为 ②③④．