2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #19
已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\{(x,y)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\}$，且满足对任意 $a_i,a_j\in S$（$1\leqslant i,j\leqslant n$，$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$i\ne j$），$(a_i,a_j)$ 和 $(a_j,a_i)$ 中恰有一个在 $T$ 中．对于 $T$ 定义： \[d_T(a,b)=\begin{cases}1,&(a,b)\in T\\0,&(b,a)\in T,\end{cases}\quad l_T\left(a_l\right)=\displaystyle\sum_{m=1}^{l-1}d_T\left(a_l,a_m\right)+\sum_{m=l+1}^n d_T\left(a_l,a_m\right) .\]
1、若 $n=4$，$\left(a_1,a_2\right),\left(a_3,a_2\right),\left(a_2,a_4\right)\in T$，求 $l_T\left(a_2\right)$ 的值及 $l_T\left(a_4\right)$ 的最大值；
2、从 $l_T\left(a_1\right),l_T\left(a_2\right),\cdots,l_T\left(a_n\right)$ 中任意删去两个数，记剩下的 $(n-2)$ 个数的和为 $M$，证明：$M\geqslant\dfrac 1 2 n(n-5)+3 $；
3、求证：对于满足 $l_T\left(a_l\right)<n-1$（$l=1,2,3,\cdots,n$）的每一个集合 $T$，集合 $S$ 中都存在三个不同的元素 $e,f,g$，使得 $d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3$．
解析
1、将 $(a_i,a_j)\in T$ 用 $(i,j)$ 标 $1$ 表示，这样 $(j,i)$ 处标 $0$，$l_T(a_l)$ 即第 $l$ 列的所有数之和（简称列和）．根据题意，有\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline j/i &1&2&3&4\\ \hline 1&\times&0&& \\ \hline 2&1&\times&1&0 \\ \hline 3&&0&\times& \\ \hline 4&&1&& \times \\ \hline\end{array}\]于是 $l_T(a_2)=1$，$l_T(a_4)$ 的最大值为 $2$．
2、根据题意，表中除对角线外的 $n^2-n$ 个格子中，填 $1$ 和填 $0$ 的格子数相同，有\[\sum_{i=1}^nl_T(a_i)=\dfrac 12(n^2-n),\]在表中任取 $i,j$ 两列，必然会出现一对格子 $(i,j),(j,i)$ 它们中一个填 $1$ 另一个填 $0$，因此\[l_T(a_i)+l_T(a_j)\leqslant 2n-3,\]从而\[M\geqslant \dfrac 12(n^2-n)-(2n-3)=\dfrac 12n(n-5)+3,\]命题得证．
3、取列和最大的列（如果有多个任取其中一个），记为 $f$ 列，由于 $l_T(a_f)<n-1$，于是必然存在填 $0$ 的格子，设为 $d_T(f,e)=0$，此时 $d_T(e,f)=1$．此时逐一对比 $e,f$ 两列中每一行的两个格子，必然有 $e$ 列为 $0$ 且 $f$ 列为 $1$ 的情形，否则与 $l_T(a_f)$ 最大矛盾，记该行为 $g$，则\[d_T(e,g)=0,\quad d_T(f,g)=1,\]这样就得到了\[d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3,\]命题得证．