下面这道试题是很多教辅书上都有的经典试题：
如图，已知平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的底面是菱形且从顶点\(C\)出发的三条棱两两形成的角$\angle C_1CB=\angle C_1CD=\angle BCD=60^\circ$，
（1）证明：$C_1C\perp BD$；
（2）当$\dfrac{CD}{CC_1}$的值为多少时，可使$A_1C\perp C_1BD$？
三射线定理 如图，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)分别是从\(P\)出发的三条射线，\(\angle APC\)、\(\angle BPC\)、\(\angle APB\)分别为\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\theta\)，二面角\(A-PC-B\)（记其大小为\(\varphi\)）满足：\[\cos\theta=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\cos\varphi.\]
2012年高考上海卷理科数学第14题（填空压轴题）：
如图，\(AD\)与\(BC\)是四面体\(ABCD\)中互相垂直的棱，\(BC=2\)．若\(AD=2c\)，且\(AB+BD=AC+CD=2a\)，其中\(a\)、\(c\)为常数，则四面体\(ABCD\)的体积的最大值是_______．
2015年高考山东卷理科数学第20题（文科数学第21题与之基本相同）：
平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（$a>b>0$）的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，左、右焦点分别是$F_1$、$F_2$．以$F_1$为圆心，以$3$为半径的圆与以$F_2$为圆心，$1$为半径的圆相交，且交点在椭圆$C$上．
（1）求椭圆$C$的方程；
（2）设椭圆$E:\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{4b^2}=1$，$P$为椭圆$C$上任意一点，过点$P$的直线$y=kx+m$交椭圆$E$于$A$、$B$两点，射线$PO$交椭圆$E$于点$Q$．
① 求$\dfrac{|OQ|}{|OP|}$的值；
② 求$\triangle ABQ$面积的最大值．
问题1 已知不等式\(a\leqslant \dfrac 34x^2-3x+4\leqslant b\)的解集恰好是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
问题2 已知函数\(f(x)=\dfrac 34x^2-3x+4\)的定义域和值域都是\([a,b]\)，求\(a,b\)的值．
双曲线有一个简单优美的结论：
双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值$\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}$．
直接应用点到直线的距离公式即可证明．
2012年北京市朝阳区高三期末理科数学第 8 题（选择压轴题）：
已知集合\[\begin{split}A &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = n , y = na + b , n \in \mathcal Z \right\},\\B &= \left\{ \left( {x , y} \right)|x = m , y = 3{m^2} + 12 , m \in \mathcal Z \right\}.\end{split}\]若存在实数\(a , b\)使得\(A \cap B \neq \varnothing \)成立，称点\(\left( {a , b} \right)\)为“\(\alpha \)”点，则“\(\alpha \)”点在平面区域\(C = \left\{ {\left( {x , y} \right)|{x^2} + {y^2} \leqslant 108} \right\}\)内的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数个
2013年高考浙江卷理科数学第16题（填空压轴题）：
在三角形\(ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(M\)是\(BC\)的中点，若\(\sin\angle BAM=\dfrac 13\)，则\(\sin\angle BAC=\)_______．
2011年高考江西卷文科数学第10题（选择压轴题）：
如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系\(x\)轴上方，其“底端”落在原点处，一顶点及中心在\(y\)轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．
今使“凸轮”沿\(x\)轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上下放置，应大致为（ ）
2011年高考江西卷理科数学第10题（略去了选项）：
如图，一个直径为\(1\)的小圆，沿着直径为\(2\)的大圆内壁的顺时针方向滚动，\(M\)和\(N\)是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点\(M\)、\(N\)在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
