已知无穷数列$\{x_n\}$的首项$x_1=\dfrac 12$，递推公式为$$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{x_n^2+1},n\in\mathcal N^*,$$求证：$$\dfrac{(x_1-x_2)^2}{x_1x_2}+\dfrac{(x_2-x_3)^2}{x_2x_3}+\cdots +\dfrac{(x_{n}-x_{n+1})^2}{x_nx_{n+1}}<\dfrac{5}{16}.$$
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每日一题[380]纸老虎
编者按 本文作者我爱数学，由meiyun编辑，有较大改动．
若$\alpha,\beta,\gamma$是任意实数，求$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$的最大值．
尴尬的面试官
在费罗迪写的《合伙人》一书中提出了“人才错误评估率”：
我们都听过黑猩猩、儿童、猫以及蒙眼的飞镖选手选择股票并轻易超过专业资金管理者的故事．在最近的一项研究中，伦敦城市大学卡斯商学院的研究人员对1000万组“猴子”指数基金（即电脑随机创造和加权的基金）和市值加权指数基金（即投资专家们推荐的积极管理基金）作了对比，他们发现每次都是猴子基金获胜．
遗憾的是，大多数人在人才挑选方面比猴子也强不了多少．如果通过计算面试官对求职者的评估和求职者被录取后的绩效之间的关联度来估算面试官的成功率，你会得到一个很大的数值范围．假如全知．公正并且向来诚实的上帝的相关系数最大，是1.0，这说明他100%是正确的．那么，最好的专业面试官（我称之为“副神”）大约是0.7，他们的评估70%是正确的．但大多数人是0.3， 只有30%是正确的，而最差专业面试官的评估与绩效之间是负相关的．如果你知道面试官无法胜任，肯定不会采纳他们的建议，而会反其道而行之．
此外，当谈及优秀人才的挑选时，即使你比副神还厉害，成功的几率还是很小．我常常通过一个逻辑推理问题来解释这一点．假设你只想雇佣那些绩效在所有同职业者中居于前10%的人，同时我们再假设你的正确率高达90%．这意味着当你认为某人位于前10%时，10次中你有9次都是正确的；同样，当你认为某人不在前10%中时，10次中有9次你也能做出正确的判断．现在假设在整个职业生涯中，你评估了100位求职者，你的评估结果错误率是多少？
书中给出了答案，并且进行了图形解释．在这里我利用条件概率的模型再次解释一下：
每日一题[379]探索规律
数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}+(-1)^na_n=2n-1$，若$\{a_n\}$的前$30$项和$S_{30}=663$，则$a_1=$_____．
每日一题[378]恒成立中的变量分离
2010年高考天津卷理科数学第16题（填空压轴题）：
设函数\(f(x)=x^2-1\)，对任意\(x\in\left[\dfrac32,+\infty\right)\)，\(f\left(\dfrac xm\right)-4m^2f(x)\leqslant f(x-1)+4f(m)\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是_____．
每日一题[377]成双成对
设 \(f(x)=\dfrac 1{x+1},x>0\)，对任意 \(n\in \mathcal N\)，定义 \(f_0(x)=x\)，\(f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x))\)， \(F_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf_{k}(x)\)．证明：对任意\(x>y>0\)，均有 \(F_n(x)>F_n(y)\)．
每日一题[376]透过现象看本质
已知$a>0$，则$x_0$满足关于$x$的方程$ax=b$的充要条件是（ ）
A．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
B．$\exists x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
C．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\geqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
D．$\forall x\in\mathcal{R}$，$\dfrac 12ax^2-bx\leqslant \dfrac 12ax_0^2-bx_0$
每日一题[375]素数有多少
上个星期数学家们发现了目前世界上最大的素数，也是第$49$梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1,$$这是一个$22338618$位的数．感兴趣的读者可以去关注这篇文章哥德巴赫猜想与1+1=2．下面我们来看一道我们可以解决的与素数有关的问题，这是2011年希望杯高一年级的试题：
已知数列$1,101,10101,1010101,\cdots$．则该数列中的素数项有（ ）
A．无穷多个
B．超过$2$个的有限
C．不超过$2$个
D．$0$个
哥德巴赫猜想与1+1=2
上周，很多与素数相关的新闻在网上风靡，一则新闻是世界上已知的最大素数的记录被刷新．虽然“素数有无穷多个”这个命题在欧几里德的《几何原本》中就有一个漂亮的证明，现在很多初中学生都会证（你不会？面壁去），但是能证明素数有无穷多个，不代表能把它们写出来．这次发现的素数是一个$22338618$位的数，刷新了2013年以来的最大素数的记录，当时最大的素数是一个$17425170$位的数（这跳跃真够大的）；另一则新闻是第$49$个梅森素数被发现，梅森数是指形如$2^p-1$这样的数，其中指数$p$是素数，如果一个梅森数是素数，那么就称之为梅森素数．事实上，这个目前世界上最大的素数就是第$49$个梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1.$$而2013年发现的当时最大的素数正是第$48$个梅森素数．
每日一题[374]见微知著
已知数列$\{a_n\}$满足$a_n=\dfrac {5a_{n-1}-2}{a_{n-1}-5},n\in\mathcal{N}^*,n\geqslant 2$，且$a_1+a_2+\cdots+a_{2000}=50$，则$a_1+a_{20}=$____．