函数\(g(x)=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{5}{12}+\cos \left(x-\dfrac{\pi+1}{2}\right)\)，求\(g\left(\dfrac{1}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2}{2016}\right)+\cdots+g\left(\dfrac{2014}{2016}\right)+g\left(\dfrac{2015}{2016}\right)\)的值．
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每日一题[371]似是而非
2012年全国高考四川理科第16题（填空压轴题）：
设$a$为正整数，数列$\{x_n\}$满足$x_1=a$，$x_{n+1}=\left[\dfrac {x_n+\left[\dfrac {a}{x_n}\right ]}{2}\right ](n\in\mathcal{N}^*)$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，现有下列命题：
①当$a=5$时，数列$\{x_n\}$的前$3$项依次为$5,3,2$；
②对数列$\{x_n\}$都存在正整数$k$，当$n\geqslant k$时，总有$x_n=x_k$；
③当$n\geqslant 1$时，$x_n>\sqrt a-1$；
④对某个正整数$k$，若$x_{k+1}\geqslant x_k$，则$x_k=\left[\sqrt{a}\right ]$．
其中真命题有_____．（写出所有真命题的编号）
每日一题[370]抽丝剥茧
这是数海拾贝读者俱乐部里看到的题：
已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^2+2x,x\geqslant 0,\\x^2-2x,x<0\end{cases}$，若关于$x$的不等式$[f(x)]^2+af(x)-b^2<0$恰有一个整数解，则实数$a$的最大值为_____．
彭赛列闭合性质
在每日一题[33]交点曲线系中，我们有：
过椭圆$\dfrac{x^2}{16}+y^2=1$的左顶点作圆$(x-2)^2+y^2=\dfrac 49$的两条切线与椭圆交于另外两点，这两点的连线仍然与圆相切．事实上，这一性质对椭圆的四个顶点均成立，更进一步由彭赛列闭合性质，这一性质对椭圆上的任何一点都成立，如图．
那么对一般的椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a\neq b$)，这样的圆是否存在呢？
每日一题[369]“四角星”区域
编者按 本文作者Brook，由meiyun编辑整理．
平面内定义“区域$X$”为满足条件$P$的所有线段所在的区域．如：平面直角坐标系中，若条件$P$为“线段的一端在原点，另一端距离原点不超过$1$个单位”，则其对应的“区域$X$”为满足$x^2+y^2\leqslant 1$的区域．
若平面内有夹角成$60^\circ$的两条直线$l_{OA}$与$l_{OB}$，且两直线交于$O$，$C,D$分别为$l_{OA}$与$l_{OB}$上的点，并满足条件$P$：$|OC|\cdot |OD|=4$，$E$为线段$CD$的中点，记所有线段$CD$所在区域为“区域$X$”．试判断：
①$I$为$\angle AOB$的角平分线上一点，且$|OI|=2$，以$I$为圆心，$2-\sqrt 3$为半径作圆，则该圆上的点均不在“区域$X$”内；
②$E$在“区域$X$”内，且$|OE|_{\min}=\sqrt 3$；
③过$E$作$EM\perp OA$于$M$，$EN\perp OB$于点$N$，记$\triangle MNE$的面积为$S_1$，过$E$作$EF\parallel l_{OA}$交$l_{OB}$于$F$，$EG\parallel l_{OB}$交$l_{OA}$于$G$，记$\triangle OFG$的面积为$S_2$，则$S_1\leqslant S_2$恒成立；
④存在有限条直线$l$，使得整条$l$在“区域$X$"内．
其中正确的有_____．
每日一题[368]狐狸尾巴藏不住
2016年1月份浙江高中学业水平考试压轴题：
已知函数$f(x)=x|x+a|+m|x-1|$．
(1)$a=0$，$m=1$时，求函数$f(x)$的单调性；
(2)若函数$f(x)$在$[0,2]$上取得最大值$a+1$，求$m$的取值范围（用$a$表示）．
每日一题[367]椭圆与矩形
本题改编自2013年北京高考理科数学第19题：
设$A,B,C$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上的三个点，判断四边形$OABC$能否为矩形．
每日一题[366]数形结合
已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^2+ax,x\leqslant 1,\\ax-1,x>1,\end{cases} $，若$\exists x_1,x_2\in\mathcal{R},x_1\ne x_2$，使$f(x_1)=f(x_2)$成立，则实数$a$的取值范围是_____．
每日一题[365]任他东南西北风
这是2012年北京市西城区的一道高考模拟题：
已知抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点为$F$，过点$F$的直线交$y$轴正半轴于点$P$，交抛物线于$A,B$两点，其中点$A$在第一象限．
(I)求证：以线段$FA$为直径的圆与$y$轴相切；
(II)若$\overrightarrow{FA}=\lambda_1\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BF}=\lambda_2\overrightarrow{FA}$，$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\in\left[\dfrac 14,\dfrac 12\right]$，求$\lambda_2$的取值范围．