每日一题[377]成双成对

设 \(f(x)=\dfrac 1{x+1},x>0\),对任意 \(n\in \mathcal N\),定义 \(f_0(x)=x\),\(f_{n+1}(x)=f(f_{n}(x))\), \(F_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nf_{k}(x)\).证明:对任意\(x>y>0\),均有 \(F_n(x)>F_n(y)\).


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证明 要证明的结论即函数\(F_n(x)\)在\((0,+\infty)\)上单调递增.

先分析每一个函数\(f_k(x)\):\(f_{0}(x)=x\)为增函数,$f(x)=\dfrac {1}{1+x}$是一个减函数,每个单调函数与$f(x)$复合后单调性均改变,从而有\(f_{1}(x)\)为减函数,\(f_{2}(x)\)为增函数,\(f_{3}(x)\)为减函数,\(\cdots\),$f_k(x)$的单调性交替出现.

于是我们得到函数\(f_{2k}(x)\)为增函数,函数\(f_{2k+1}(x)\)为减函数(证明过程可以用数学归纳法严格写出).

我们尝试考虑相邻两个函数的和\(f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)\):

当$k=0$时,由对勾函数的单调性知:\[f_0(x)+f_1(x)=x+\dfrac{1}{1+x}=(x+1)+\dfrac {1}{1+x}-1\]单调递增(注意函数的定义域为$(0,+\infty)$).

当$k=1$时,由$f_n(x)$的定义知\[f_2(x)+f_3(x)=f_0[f_2(x)]+f_1[f_2(x)],\]相当于外层函数\(f_0(x)+f_1(x)\)与内层函数\(f_2(x)\)的复合.因为\(f_2(x)\)为增函数,所以$f_2(x)+f_3(x)$也为增函数.类似地,函数\[f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)\]可以看成外层函数\(f_0(x)+f_1(x)\)与内层函数\(f_{2k}(x)\)的复合,而\(f_{2k}(x)\)为增函数,所以\(f_{2k}(x)+f_{2k+1}(x)\)也为增函数.于是对函数\(F_k(x)\)我们两项两项考虑,即可得到单调性:

当\(n=2m+1,m\in \mathcal N\) 时,\[F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m}(x)+f_{2m+1}(x)]\]单调递增;

当 \(n=2m,m\in \mathcal N\) 时,\[F_n(x)=[f_0(x)+f_1(x)]+[f_{2}(x)+f_{3}(x)]+\cdots+[f_{2m-2}(x)+f_{2m-1}(x)]+f_{2m}(x)\]单调递增.

从而对任意\(x>y>0\),均有 \(F_n(x)>F_n(y)\).

本题中这种通过适当的配对,去得到和函数的单调性或者去判断某和式符号的正负的方式在很多证明题中有应用.

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