哥德巴赫猜想与1+1=2

上周,很多与素数相关的新闻在网上风靡,一则新闻是世界上已知的最大素数的记录被刷新.虽然“素数有无穷多个”这个命题在欧几里德的《几何原本》中就有一个漂亮的证明,现在很多初中学生都会证(你不会?面壁去),但是能证明素数有无穷多个,不代表能把它们写出来.这次发现的素数是一个$22338618$位的数,刷新了2013年以来的最大素数的记录,当时最大的素数是一个$17425170$位的数(这跳跃真够大的);另一则新闻是第$49$个梅森素数被发现,梅森数是指形如$2^p-1$这样的数,其中指数$p$是素数,如果一个梅森数是素数,那么就称之为梅森素数.事实上,这个目前世界上最大的素数就是第$49$个梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1.$$而2013年发现的当时最大的素数正是第$48$个梅森素数.

与素数相关的问题一直吸引着数学家与普通数学爱好者的注意,历史上以提出猜想著名于世的法国数学家费马,他最著名的猜想就是费马大猜想,现在已经是费马大定理,内容是:当整数$n>2$时,关于$x,y,z$的方程$$x^n+y^n=z^n$$只有平凡的整数解.他在丢番图《算术》的拉丁文译本中写下这个猜想时,加一了段著名的话:我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下.终于在三百多年后的1995年,这个猜想被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明,成为费马大定理

费马提出这些猜想也有运气不佳的时候,比如形如$$F_n=2^{2^n}+1$$的数被称为费马数,他计算了$$\begin{split} &F_0=3,\\&F_1=5,\\&F_2=17,\\&F_3=257,\\&F_4=65537, \end{split} $$然后$n=5$时,这个数实在太大,他认为这个数是素数,于是在1640年提出:所有费马数都是素数的猜想.1732年心算之神欧拉算出了$$F_5=641\times 6700417,$$推翻了这个猜想,也就是说费马数不能作为一个求素数的公式(而写出一个素数的公式一直是人们梦寐以求的!).而在这之后,人们又找了一不少反例,甚至有人猜想:当$n>4$时,费马数全是合数.因为迄今为止,只有费马计算的那五个数为素数.事实上,费马数中到底是多少素数,多少合数还没有结论,都是在猜.

与素数相关的猜想非常多,比如著名的哥德巴赫猜想:任何一个不小于$6$的偶数都可以写成两个奇素数的和,又称为“$1+1$问题”,我曾经被忽悠说哥德巴赫猜想就是要证明$1+1=2$,然后陈景润证明了“$1+2=3$”,更过份的是我就相信了,信了,了……与素数相关的著名猜想还有孪生素数猜想(相差为$2$的两个素数构成的素数对称为孪生素数,如$11,13$):存在无穷多的孪生素数.还有一个更重要的,但是不像上面两个猜想那么直白的黎曼猜想(这个猜想地位很高).另外很多没有具体名称的猜想,如“是否有无穷多个梅森素数”,“是否$n>4$时的费马数都是合数”等等.

(陈景润解决的是“$1+2$问题”是:一个充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过两个素数的积之和,如$18=3+3\times 5$,这个定理在国际上被称为“陈氏定理”.如果你想知道真正的$1+1=2$是为什么,可以去看看果壳网这篇文章,这涉及到皮亚诺公理)

最后需要提的一点是要想解决这些猜想需要很深的数学知识,很多数学家终身都在探索解决这些问题,如果你对这些问题有兴趣,可以学习与这些问题相关的数学知识,但不必直接试图解决这些著名猜想,不能存着侥幸心理:可能所有数学家可能错过了某条捷径,然后被你发现.如果你这样想,不如去买彩票.不过另一方面,不管是陈景润,还是安德鲁怀尔斯,都是从小被这些猜想吸引着走上的数学之路,并作出了重大贡献的,所以你也被吸引着走上这条路,那么恭喜你.

参考资料:百度百科相关词条及关于梅森素数的相关报道.

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