每日一题[375]素数有多少

上个星期数学家们发现了目前世界上最大的素数,也是第$49$梅森素数$$M_{49}=2^{74207281}-1,$$这是一个$22338618$位的数.感兴趣的读者可以去关注这篇文章哥德巴赫猜想与1+1=2.下面我们来看一道我们可以解决的与素数有关的问题,这是2011年希望杯高一年级的试题:

已知数列$1,101,10101,1010101,\cdots$.则该数列中的素数项有(  )

A.无穷多个

B.超过$2$个的有限

C.不超过$2$个

D.$0$个


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正确答案是 C.

 数列的通项为$$\begin{split} a_n&=1+10^2+10^4+\cdots+10^{2n-2}\\&=\dfrac {100^n-1}{99}.\end{split} $$①当$n=2k,k\in\mathcal{N}^*$时,$$\begin{split} a_n&=\dfrac {100^{2k}-1}{99}\\&=\dfrac {100^k-1}{99}\cdot(100^k+1).\end{split} $$因为$99|(100^k-1)$,所以$\dfrac {100^k-1}{99}\in\mathcal {N}$,当$k>1$时,$99<100^k-1$,从而有$a_n$为合数;

特别地,当$k=1$时,$a_2=101$为素数;

②当$n=2k+1$时,$$\begin{split} a_n&=\dfrac {10^{2k+1}-1}{9}\cdot\dfrac {10^{2k+1}+1}{11}\\&=\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}\cdot\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)}, \end{split} $$当$k>0$时,$\dfrac{1-10^{2k+1}}{1-10}$与$\dfrac{1-(-10)^{2k+1}}{1-(-10)}$都为大于$1$的整数,故$a_n$为合数(也可以通过将$10$写成$9+1$与$11-1$,由二项式定理得到这两个数为整数).

特别地,当$k=0$时,$a_1=1$既不是素数也不是合数.

综上知,该数列中有且只有一个素数,故选项C正确.

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