Math173

2016年浙江省宁波市高三期末联考压轴题：

对任意正整数$n$，设$a_n$是方程$x^2+\dfrac xn=1$的正根．

（1）求证：$a_{n+1}>a_n$；

（2）求证：$\dfrac{1}{2a_2}+\dfrac{1}{3a_3}+\cdots +\dfrac{1}{na_n}<1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$．

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编者按　本文作者凯凯，由meiyun编辑修改．

已知函数$f(x)=\dfrac {x-1}{\mathrm{e}^x}$．

（1）求函数$f(x)$的单调区间和极值；

（2）若$x_1\ne x_2$，且$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2>4$．

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设变量$x,y$满足约束条件$$\begin{cases} y-1\geqslant 0,\\x+y-4\leqslant 0,\\y-1\leqslant k(x-1),\end{cases}$$其中$k\in\mathcal{R}$，$k>0$．

（1）当$k=1$时，$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为____；

（2）若$\dfrac {y}{x^2}$的最大值为$1$，则实数$k$的取值范围是____．

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等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n>0$，且$$S_2\cdot S_3\cdots S_n=n(a_2^2-c)(a_3^2-c)\cdots (a_n^2-c),$$其中$n\geqslant 2$且$n\in\mathcal N$．若$a_n\leqslant \dfrac n2$($n\in\mathcal N^*$)，则实数$c$的取值范围是_______．

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编者按　本文作者我爱数学，原标题《证明与求解》，由meiyun编辑整理．

已知\(f(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+b-a\)（\(a,b\in\mathcal{R}\)，且\(a,b\)不同时为\(0\)）．

(1)当\(a=\dfrac{1}{3}\)时，若\(f(x)>-\dfrac{1}{3}\)对\(\forall x\in\mathcal{R}\)恒成立，求\(b\)的范围；

(2)求证：\(f(x)\)在\((-1,0)\)内至少有一个零点．

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将一堆小球（数量不小于$2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含$n$个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为$p_3$；依次进行下去，直到最后得到$n$堆小球（每堆的小球数量均为$1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$是一个与分堆的具体过程无关的定值．

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在圆$x^2+y^2=25$上有一点$P(4,3)$，点$E,F$是$y$轴上两点，且满足$|PE|=|PF|$，直线$PE,PF$与圆交于$C,D$，则直线$CD$的斜率是_____．

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数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=r\cdot a_n+r$（$n\in\mathcal {N}^*$，$r\in\mathcal {R}$且$r\ne 0$），则“$r=1$”是“数列$\{a_n\}$成等差数列”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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在平面直角坐标系中，已知点$F(3,0)$在圆$C:(x-m)^2+(y-2)^2=40$内，动直线$AB$过点$F$且交圆于$A,B$两点，若$\triangle ABC$的面积的最大值为$20$，则实数$m$的取值范围是_______．

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