这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道趣题：
证明：${\sqrt 7}^{\sqrt 8}>{\sqrt 8}^{\sqrt 7}$．
参考数据：$2.64<\sqrt 7<2.65$，$2.82<\sqrt 8<2.83$，$2.71<{\rm e}<2.72$．
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每日一题[432]极值点偏移与对称化构造
已知$f(x)=x-1-\ln x$，若两相异正实数$x_1,x_2$满足$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$f'(x_1)+f'(x_2)<0$．
每日一题[431]数列“两象性”
2016年北京市东城区高三上学期期末考试理科第14题（有稍许改动）
数列\(\{a_n\}\)满足：\[a_{n-1}+a_{n+1}>2a_n(n>1,n\in \mathcal N^*),\]给出下述命题：
① 若数列\(\{a_n\}\)满足：\(a_2>a_1\)，则\(a_n>a_{n-1}(n>1,n\in \mathcal N^*)\) 成立；
② 存在常数\(c\)，使得\(a_n>c(n\in \mathcal N^*)\)成立；
③ 若\(p+q>m+n\)（其中\(p,q,m,n\in\mathcal N^*\)），则\(a_p+a_q>a_m+a_n\)；
④ 存在常数\(d\)，使得\(a_n>a_1+(n-1)d(n>1,n\in\mathcal N^*)\)都成立．
上述命题正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
每日一题[430]给我一个合理的解释
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
设集合$I=\{1,2,3,4,5\}$，选择$I$的两个非空子集$A,B$，要使$B$中最小的数大于$A$中最大的数，则不同的选择方法共有_______种．
每日一题[429]两仪生四象
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$($x,y\in\mathcal R$)，且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}>0$，$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow{c}>0$．
A．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x>0$，$y>0$
B．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x<0$，$y<0$
C．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x>0$，$y>0$
D．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x<0$，$y<0$
论剑海第[1]期题解
已知正数数列$\{x_n\}$与$\{y_n\}$对一切正整数$n$，均满足条件$$\begin{split}x_{n+2}&=x_n+x_{n+1}^2,\\y_{n+2}&=y_n^2+y_{n+1}.\end{split}$$如果$x_1,x_2,y_1,y_2$均大于$1$，试判断当$n$足够大时$x_n$与$y_n$的大小关系，并证明．
每日一题[428]谁是赢家
我们知道，当$x$为锐角时，$\sin x<x$而$\tan x>x$，那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢？这是一道有趣的函数不等式证明题：
已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$．
手势密码一共有多少种？
我们常用的Android的锁屏手势密码图案设计规则如下：
从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（不少于$4$个点）形成线路图．任何点不允许被跳过，并且线上的点只有在首次被划到时才起到确定线路的作用（即第二次划过的点不会成为确定折线的点）．
每日一题[426]向量分解的系数和
在扇形$AOB$中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=\dfrac{\pi}3$，$C$为弧$AB$(不包含端点)上的一点，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$．
（1）求$x+y$的取值范围；
（2）若$t=x+\lambda y$存在最大值，求$\lambda$的取值范围．