每日一题[304] 小橄榄长成大南瓜

2015年浙江省台州市高三调研试卷理科数学第8题：

在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$AB=BC=2$，$AA_1=1$，$E$、$F$为对角线$BD_1$的两个三等分点，$G$为长方体表面上的动点，则$\angle EGF$的最大值为_______．

正确答案是$90^\circ$．

显然线段$EF$是定长的线段，长度为$$\dfrac 13\sqrt{2^2+2^2+1}=1.$$ 我们知道，在平面上对定长的线段所张的角为定角的点的轨迹是两段圆弧，即“等张角线”，如图1．在平面等张角线逐步扩张的过程中，对应的定角逐步减小（可以由正弦定理推得）．

图1    平面等张角线

于是空间的等张角线如图2所示由圆弧绕线段旋转而成，类似于“橄榄”到球体再到“南瓜”，它的任何一个轴截面都是平面等张角线．

图2   空间等张角面

回到原问题，想象一个“橄榄”（从线段$EF$开始）逐步膨胀（到球再到“南瓜），在膨胀过程中，空间等张角面对应的定角持续减小，因此第一次和长方体的表面相切时，切点就是使得$\angle EGF$最大的$G$点的位置．

接下来，由于长方体和空间等张角面均关于线段$EF$的中点对称，于是空间等张角面会依次与长方体的三组对面相切，并且切点在长方体的某个对角面上，因此逐一分析对角面$BDD_1B_1$、$A_1BCD_1$、$ABC_1D_1$的情形即可，如图3．

图3

如图4，对角面$BDD_1B_1$对应的切点为上下底面的中心，所得的$\angle EGF=90^\circ$，此时空间等张角面为球面；

图4

如图5，对角面$A_1BCD_1$对应的切点分别在面对角线$A_1B$和$D_1C$上，所得$\angle EGF<90^\circ$，此时空间等张角面是南瓜面；与此同时对角面$ABC_1D_1$的边$AD_1$和$BC_1$上也有切点．

图5

综上，所求$\angle EGF$的最大值为$90^\circ$，当且仅当$G$位于上下底面的中心时取得最大值．

注    有关空间等张角面，可以参考《每日一题[275] GPS 定位》．