这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的一道题目：
已知函数$f(x)=\dfrac ax-x$，对任意$x\in (0,1)$，有$f(x)\cdot f(1-x)\geqslant 1$恒成立，则实数$a$的取值范围为_______．
正确答案是$\left(-\infty ,-\dfrac 14\right]\cup \left[1,+\infty \right )$
解 原不等式即$$\begin{eqnarray} \left(\dfrac ax-x\right)\left[\dfrac{a}{1-x}-(1-x)\right]\geqslant 1,\end{eqnarray} $$如果我们视$x$为变量，$a$为参数，那么就会陷入一个研究四次函数的困境．
但是如果我们视$a$为主元，$x$为参数去解这个不等式，那么就柳暗花明了．(1)也即$$a^2-\left[x^2+(1-x)^2\right]\cdot a+x^2(1-x)^2-x(1-x)\geqslant 0,$$视其为关于$a$的二次式，其判别式$$\Delta=\left[x^2+(1-x)^2\right]^2-4x^2(1-x)^2+4x(1-x)=1,$$于是该不等式等价于$$a \leqslant \dfrac{x^2+(1-x)^2-1}2\lor a\geqslant \dfrac{x^2+(1-x)^2+1}2.$$
当$x$在$(0,1)$内变化时，$a$的取值区间$$\left(-\infty ,\dfrac{x^2+(1-x)^2-1}2\right]\cup\left[\dfrac{x^2+(1-x)^2+1}2,+\infty \right)$$也在变化．$a$的取值需要“以不变应万变”，因此所求$a$的取值范围就是这无数个区间的交集．
由于$$\dfrac 12\leqslant x^2+(1-x)^2<1,$$于是欲求的交集即$\left(-\infty ,-\dfrac 14\right]\cup \left[1,+\infty \right )$，此即$a$的取值范围．
本题也可以不变换主元，通过换元法，将四次问题转化为二次问题，这也是处理高次问题的一个常见思路：
因为\(x\in(0,1)\)，所以(1)式可以变形为\[\left[x(1-x)\right ]^2+(2a-1)x(1-x)+a(a-1)\geqslant 0.\]令\(t=x(1-x)\)，则\[t\in\left(0,\dfrac 14\right].\]题目条件转化为\[t^2+(2a-1)t+a(a-1)=(t+a)(t+a-1)\geqslant 0\]对\(t\in\left(0,\dfrac 14\right ]\)恒成立．
于是有\(-a\geqslant \dfrac 14\)或\(-a+1\leqslant 0\)，解得\(a\leqslant -\dfrac 14\)或\(a\geqslant 1\)．
最后将题目改一下作为练习留给读者．
已知函数$f(x)=\dfrac ax-x$，对任意$x\in (0,1)$，有$f(x)\cdot f(1-x)\geqslant 0$恒成立，则实数$a$的取值范围为_______．
答案 $(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$．
提示 变换主元可以得到\[(a-x^2)\left[a-(1-x)^2\right]\geqslant 0\]对\(x\in(0,1)\)恒成立，从而得到\(a\)的范围．
注 因为\(0\)的特殊性，练习也可以直接根据\(f(x)\)的性质得到结果：
当\(a\leqslant 0\)时，\(f(x)<0\) 对\(x\in(0,1)\)恒成立，从而题目不等式恒成立；
当\(a>0\)时，\(f(x)\)在\((0,1)\)上单调递减，故只需要\(f(1)\geqslant 0\)即可，解得\(a\geqslant 1\)．