（2010年西城区二模选择压轴题）
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=4\)，\(BC=2\)，点\(A,C\)分别在\(x\)轴、\(y\)轴上，当点\(A\)在\(x\)轴上运动时，点\(C\)随之在\(y\)轴上运动，在运动过程中，点\(B\)到原点的最大距离是 ______．
答案 \(2\sqrt 2+2\)．
分析 相信大家对下面这道题目不会陌生．
\(\odot C\)半径为\(r\)，点\(B\)到圆心\(C\)的距离为\(k\)\((k>r)\)，点\(A\)为圆上一点，则\(BA\)的最大值为\(k+r\)，最小值\(k-r\)，所以三角形是寻求不变量很好的媒介．
因为\(OB\)长度是变化的，所以我们的突破口就是在变化的图形中去寻求不变量，由于\(\mathrm {Rt}\triangle ABC\)三边长固定，\(\mathrm {Rt}\triangle AOC\)斜边长固定，所以取\(AC\)的中点\(M\)，此时\(BM\)与\(OM\)的线段长是定值，所以当\(OB=BM+OM\)，\(OB\)取到最大值．
点评
① 如果把上题变为，当直角顶点\(C\)在\(x\)轴上时，那么\(OB\)的最大值为多少？
答案 \(2+2\sqrt 2\)．
② 当\(\triangle ABC\)为等边三角形时，边长为\(2\)，\(OB\)的最大值为多少？
答案 \(1+\sqrt 3\)．
练习 如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=90^\circ\)，\(AC=4\)，\(AB=2\)，点\(B、A\)分别在\(x\)轴、\(y\)轴上，当点\(B\)在\(x\)轴上运动时，点\(A\)随之在\(y\)轴上运动，在运动过程中，点\(C\)到原点的最小距离是 ______．
答案 \(\sqrt{17}-1\)．
提示 取\(AB\)的中点\(M\)，此时\(MC\)与\(OM\)的线段长是定值，当\(OC=MC-OM\)时，\(OC\)取到最小值．