已知直线$ax+by-1=0$（$a,b$不全为$0$）与圆$x^2+y^2=50$有公共点，且公共点横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．
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2016年第34届AIME-II（美国数学邀请赛）
全卷共15道题，考试时间共3个小时．所有的答案都是$000$到$999$（包括$000$和$999$）之间的整数．
1、Initially Alex, Betty, and Charlie had a total of $444$ peanuts. Charlie had the most peanuts, and Alex had the least. The three numbers of peanuts that each person had form a geometric progression. Alex eats $5$ of his peanuts, Betty eats $9$ of her peanuts, and Charlie eats $25$ of his peanuts. Now the three numbers of peanuts that each person has form an arithmetic progression. Find the number of peanuts Alex had initially.
Alex,Betty和Charlie共有$444$颗花生，Alex的花生最少，Charlie的花生最多．三个人的花生数构成一个等比数列．Alex吃掉$5$颗花生，Betty吃掉$9$颗花生，Charlie吃掉$25$颗花生之后，三个人的花生数构成一个等差数列．求刚开始的时候Alex的花生数．
每日一题[424]花落知多少
已知$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$均为整数，且$1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$的有序整数对$(m,n)$共有多少对？
我的《高考数学压轴题的分析与解》一书的广告
前言
解题是学习数学的重要环节，同样也是考查数学学习阶段性成果的重要手段．而高考题，尤其是高考压轴题（选择、填空以及解答题的最后一题）就是非常好的例题与练习题．但是目前针对压轴题的内容大多是东拼西凑的“标准答案”，并没有实质性的见解，这无疑制约了同学们的进阶学习．另外，我的博客的很多读者希望能够将博客中的每日一题出版以方便阅读学习，为此我选定了压轴题方向进行整理．本书就是为基础良好的同学应对压轴题提供有效的范例，并给高中数学教师就高考压轴题的解法提供一些参考．
每日一题[423]一目了然（集合）
设集合$A=\{x\left|\right.|x-a|<1,x\in\mathcal{R}\}$，$B=\{x\left|\right .|x-b|>2,x\in\mathcal{R}\}$，若$A\subseteq B$，则实数$a,b$必满足（ ）
A．$|a+b|\leqslant 3$
B．$|a+b|\geqslant 3$
C．$|a-b|\leqslant 3$
D．$|a-b|\geqslant 3$
问题征解[19]解三角形（已解决）
在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的高．若$BC+AD=AB+AC$，求$\angle BAC$的取值范围．
每日一题[422]预则立
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
设$S_n$是各项均为非零实数的等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和，若对于给定的正整数$n$($n>1$)和正数$M$，数列$\{a_n\}$满足$a_1^2+a_{n+1}^2=M$，则$S_n$的最大值为_______．
每日一题[421]空间向量的分解
这是我在QQ群（我也记不得是哪个了）里看到的问题：
如图，在三棱锥$P-ABC$中，$AB=AC=PB=PC=10$，$PA=8$，$BC=12$，点$M$在平面$PBC$内，且$AM=7$，设异面直线$AM$与$BC$所成角为$\alpha$，则$\cos\alpha$的最大值为_______．
每日一题[420]求和估计
已知\(S=\dfrac{\pi}{20000}\cdot\left(\sin\dfrac{\pi}{20000}+\sin\dfrac{2\pi}{20000}+\sin\dfrac{3\pi}{20000}+\cdots+\sin\dfrac{10000\pi}{20000}\right)\)，推测下列各值中与\(S\)最接近的是（ ）
A．\(0.9988\)
B．\(0.9999\)
C．\(1.0001\)
D．\(2.0002\)
每日一题[419]瘦死的骆驼没马大
2013年高考辽宁卷文科数学第12题（选择压轴题）、理科数学第11题：
已知函数\(f(x)=x^2-2(a+2)x+a^2\)，\(g(x)=-x^2+2(a-2)x-a^2+8\)，设\(H_1(x)=\max\left\{f(x),g(x)\right\}\)，\(H_2(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}\)．记\(H_1(x)\)的最小值为\(A\)，\(H_2(x)\)的最大值为\(B\)，则\(A-B=\)（ ）
A．\(a^2-2a-16\)
B．\(a^2+2a-16\)
C．\(-16\)
D．\(16\)