每日一题[479]代数与几何

已知$\ln a-\ln 3=\ln c$,$bd=-3$,求$(a-b)^2+(c-d)^2$的最小值.


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   法一

根据已知,有$a=3c$且$c>0$,于是\[\begin{split} (a-b)^2+(c-d)^2&=\left(3c+\dfrac 3d\right)^2+(c-d)^2 \\ &=10c^2+\left(\dfrac{18}d-2d\right)c+\dfrac{9}{d^2}+d^2 \\ &=10\left[c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)\right]^2+\dfrac{9}{10}\left(d^2+\dfrac{1}{d^2}\right)+\dfrac 95\\&\geqslant \dfrac{18}5,\end{split} \]等号当$$\begin{cases} c+\dfrac 1{10}\left(\dfrac 9d-d\right)=0,\\ d^2=1,\\ c>0\end{cases} $$时,也即 $d=-1$,$c=\dfrac 45$时取得,因此所求代数式的最小值为$\dfrac{18}5$.

法二

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根据已知,有$a=3c$且$c>0$,因此题中代数式为射线$y=3x$($x>0$)上的点$A$到函数$y=-\dfrac 3x$上的点$B$的距离的平方.由几何意义,考虑函数$y=-\dfrac 3x$的斜率为$3$的切线,切点$T$的横坐标$t$满足$$\dfrac 3{t^2}=3.$$取$T(-1,3)$,则过$T$作射线$y=3x$($x>0$)的垂线,可得所求代数式的最小值为$$d^2=\left(\dfrac{|3\cdot (-1)-3|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}\right)^2=\dfrac{18}5.$$

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