[易错题汇编](十二)计数原理篇

一、组合数

$\mathrm{C}_{3n}^{38-n}+\mathrm{C}_{21+n}^{3n}=$_____.

答案 $466$


二、计数问题

(1)在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有_____种;

(2)某校开设人文类选修课$3$门,科学类选修课$4$门,一位同学从中共选$3$门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有_____种;

(3)$3$名医生与$6$名护士分配到$3$所学校为学生体检,每校分配$1$名医生与$2$名护士,不同的分配方法共有_____种;

(4)把$6$本不同的书平均分成$3$组,不同的分法有_____种;

(5)$5$本不同的书全部分给$4$个学生,每个学生至少一本,不同的分法有_____种;

(6)有大小、形状相同的$3$个红色小球和$5$个白色小球,排成一排,不同的排法有_____种;

(7)编号为$1,2,3,4,5$的五个人,分别坐在编号为$1,2,3,4,5$的座位上,则至少有两个号码一致的坐法有_____种;

(8)有两排座位,前排$11$个,后排$12$个,现安排$2$人就坐,规定前排中间三个座位不能坐,并且这两人不左右相邻,那么不同的排法有_____种.

答案 (1)$81$;(2)$30$;

(3)$540$;(4)$15$;

(5)$240$;(6)$56$;

(7)$31$;(8)$346$.


三、二项式定理

(1)在$\left(x^3+\dfrac {2}{x^2}\right )^5$的展开式中,$x^5$的系数为_____,二项式系数为_____;

(2)如果$\left(3x-\dfrac {1}{\sqrt[3]{x^2}}\right )^n$的展开式中各项系数和为$128$,则展开式中$\dfrac {1}{x^3}$的系数为______;

(3)已知$\left(\sqrt x-\dfrac {2}{\sqrt[3] x}\right )^n$的展开式中,第三项比第二项的系数大$162$,则$x$的二次项系数为______;

(4)在二项式$(x-1)^{11}$的展开式中,系数最小的项为_____;

(5)已知$\left(x-\dfrac {2}{x}\right )^n$的展开式中,第五项的系数与第三项的系数之比为$10:1$,则展开式中系数最大的项为第_____项,二项式系数最大的项为第_____项.

答案 (1)$40$、$10$;

(2)$21$;

(3)$-672$;

(4)$-462x^6$;

(5)$7$、$5$.

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