每日一题[480]狡兔三窟

设$F_1,F_2$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的焦点,椭圆的弦$AB$过焦点$F_1$,求$\triangle ABF_2$面积的最大值.

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解法一    仿射变换

考虑将椭圆变成圆解决问题,如图,将所有点的纵坐标变为原来的$\dfrac ab$倍,则$$S_{\triangle ABF_2}=\dfrac ba\cdot S_{\triangle A'B'F_2},$$于是只需要求圆中$\triangle A'B'F_2$的面积的最大值.

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连接$OA',OB'$,取$A'B'$的中点$M$,设$OM=d$,则$d\in\left(0,c\right]$,其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$,且$$S_{\triangle A'B'F_2}=2S_{\triangle A'B'O}=2\cdot \sqrt{d^2(a^2-d^2)},$$若$c\geqslant \dfrac{a}{\sqrt 2}$,即$e\geqslant \dfrac {\sqrt 2}2$,则$$S_{\triangle ABF_2}\leqslant \dfrac ba\cdot 2\cdot\dfrac{(a^2-d^2)+d^2}2 =ab;$$若$c<\dfrac{a}{\sqrt 2}$,即$e<\dfrac{\sqrt 2}2$,则$$S_{\triangle ABF_2}\leqslant \dfrac ba\cdot 2\cdot\sqrt{(a^2-c^2)c^2}=\dfrac{2b^2c}a=\dfrac{2b^2\sqrt{a^2-b^2}}a.$$

综上所述,当$a\geqslant \sqrt 2b$时,所求面积的最大值为$ab$;当$a<\sqrt 2b$时,所求面积的最大值为$\dfrac{2b^2\sqrt{a^2-b^2}}a$.

解法二    焦点弦长公式

设$AB$的倾斜角为$\theta$,则$$AB=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$于是$$S_{\triangle ABF_2}=\dfrac 12\sin\theta\cdot 2c\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$以下略.

解法三    海伦公式

设$AF_1=m$,$BF_1=n$,则由椭圆的性质可得$$\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac{2a}{b^2},$$于是$$mn=\dfrac{b^2}{2a}\cdot AB.$$根据海伦公式,有\[\begin{split} S_{\triangle ABF_2}&=\sqrt{2a\cdot (2a-AB)\cdot (2a-BF_2)\cdot (2a-AF_2)}\\ &=\sqrt{2a(2a-AB)\cdot mn} \\ &=b\cdot \sqrt{(2a-AB)\cdot AB},\end{split} \]以下略.

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