在处理含有参数的导数问题时，通常的作法都是用参数表示所求式子中的零点、极值点、极值等等．但有时直接用参数表示有困难、或者无法用参数表示时，也可能考虑转化变量，但此时一定要注意新设变量的取值范围．
已知函数\(f(x)=x^2+a\ln (x+1)\)有两个相异极值点\(x_1\)、\(x_2\)，且\(x_1<x_2\)，求证：\(0<\dfrac{f\left(x_2\right)}{x_1}<-\dfrac 12+\ln 2\)．
估计函数的零点分布是高中数学中常常遇到的问题．在高一的时候，我们通常利用零点的存在性定理进行范围估计，而当我们学习了导数以后，可以更进一步的研究一些深层的细节．
已知函数\(f(x)=x-{\rm e}^{\frac xa}\)（\(a>0\)）有两个相异零点\(x_1\)、\(x_2\)且\(x_1<x_2\)，求证：\(\dfrac{x_1}{x_2}<\dfrac{\rm e}a\)．
2012年高考四川卷理科数学第21题（解析几何大题）：
如图，动点\(M\)与两定点\(A(-1,0)\)、\(B(2,0)\)构成三角形\(MAB\)，且\(\angle MBA=2\angle MAB\)，设动点\(M\)的轨迹为\(C\)．
（1）求轨迹\(C\)的方程；
（2）设直线\(y=-2x+m\)与\(y\)轴相交于点\(P\)，与轨迹\(C\)相交于点\(Q\)、\(R\)，且\(|PQ|<|PR|\)，求\(\dfrac{|PR|}{|PQ|}\)的取值范围．
题目的灵感来自游戏 icube（并且有理由怀疑这个游戏的灵感来自于苹果旗舰店）．
想象把一个半径为\(1\)的单位球放进一另一个半径为\(r\)（\(r>0\)）的大球中滚动，那么大球内壁中的任何一个点都可以被小球碾压，也就是对球体而言，表面（面积为\(S=4\pi r^2\)）上安全的区域面积\(P\)为\(0\)，于是我们说半径为\(r\)的球的安全系数\[\lambda (r)=\dfrac {P}{S}=0.\]
而棱长为\(a\)的正方体安全系数会好一些，为\[\lambda (a)=4\cdot\dfrac{a-1}{a^2},a>2,\]现在的问题是，相同表面积的正方体和正四面体，哪个安全系数高一些？
2015年全国高中数学联合竞赛A卷二试第1题：
设\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)（\(n\geqslant 2\)）是实数，证明：可以选取\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\in\left\{-1,1\right\}\)，使得\[\left(\sum_{i=1}^n{a_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n{\varepsilon_ia_i}\right)^2\leqslant (n+1)\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right).\]
正弦型函数\(y=A\sin(\omega x+\varphi)+B\)中最富有变化的参数是\(\omega\)，\(\omega\)的变化相当于弹簧的压缩（\(\omega>1\)）或拉伸（\(\omega<1\)），其中函数图象与\(y\)的交点为弹簧的固定点，各点到\(y\)轴的距离成比例变化．
从图象伸缩的角度可以对正弦型函数中的参数\(\omega\)有更直观的认识，有时可以大大简化计算：
2015年全国高中数学联合竞赛A卷第７题：
设\(\omega\)为正实数，若存在\(a,b\)（\(\mathrm{\pi}\leqslant a<b\leqslant 2\mathrm{\pi}\)），使得\(\sin\omega a+\sin\omega b=2\)，则\(\omega\)的取值范围是_______．
2013年高考浙江卷理科数学第17题（填空压轴题）：
设\(a\in\mathcal R\)，若\(x>0\)时均有\(\left[(a-1)x-1\right]\left(x^2-ax-1\right)\geqslant 0\)，则\(a=\)_______．
2013年全国高中数学联赛江西省预赛第12题：
试确定，是否存在\(1,2,3,\cdots,2013\)的一个以\(2013\)结尾的排列，从第二项起，每一项与前一项的差的绝对值不是\(20\)就是\(13\)？证明你的结论． 继续阅读
一、填空题 本小题共8小题，每小题8分，满分64分．
1、设\(a,b\)是不相等的实数，若二次函数\(f(x)=x^2+ax+b\)满足\(f(a)=f(b)\)，则\(f(2)\)的值为_______． 继续阅读
2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题：
从集合\(\{1,2,3,\cdots,30\}\)中取出\(5\)个不同的数，使这五个数构成等差数列，则可以得到的不同的等差数列的个数为_______．
