每日一题[241] 分析端点

2013年高考浙江卷理科数学第17题（填空压轴题）：

设\(a\in\mathcal R\)，若\(x>0\)时均有\(\left[(a-1)x-1\right]\left(x^2-ax-1\right)\geqslant 0\)，则\(a=\)_______．

正确答案是\(\dfrac 32\)．

解    记题中关于\(x\)的不等式左侧为\(g(x,a)\)．由于\(g(x,a)\geqslant 0\)在区间\(\left(0,+\infty\right)\)上恒成立，分析两个端点\(x\to 0\)和\(x\to +\infty\)，应有必要条件\[\lim_{x\to 0}g(x,a)\geqslant 0\land \lim_{x\to +\infty}g(x,a)\geqslant 0,\]于是不难得到\[a-1\geqslant 0,\]即\(a\geqslant 1\)．

不难验证\(a=1\)不符合题意．

当\(a>1\)时，注意到\(x^2-ax-1=0\)的两个实根一正一负，而\((a-1)x-1=0\)有一正根\(\dfrac{1}{a-1}\)，于是不难推知，这两个方程的正根重合（否则\(g(x,a)\)在这两个正根之间的取值为负值），因此有\[\left(\dfrac{1}{a-1}\right)^2-a\cdot\dfrac{1}{a-1}-1=0,\]解得\[a=0\lor a=\dfrac 32.\]结合讨论前提，有\(a=\dfrac 32\)．

接下来\(a=\dfrac 32\)的充分性容易验证，于是\(a\)的取值为\(\dfrac 32\)．

另法（由琴月阳提供）

视\(a\)为主元，\(x\)为参数，将不等式两边除以\(x^2\)，并且整理变形如下：\[\left[a-\left(1+\dfrac 1x\right)\right]\cdot\left[a-\left(x-\dfrac 1x\right)\right]\leqslant 0,\]记\(\max\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=m(x)\)，\(\min\left\{1+\dfrac 1x,x-\dfrac 1x\right\}=n(x)\)．

由一元二次不等式的解法应有\[n(x)\leqslant a\leqslant m(x),\]即\(a\in [n(x),m(x)]\)．这个闭区间是一个动区间，随着\(x\)的取值变化，形成一系列区间，而\(a\)的可能取值就是所有这些区间的交集．

当\(x\)的取值合理的时候，这个区间可以充分的小甚至退化成一个点，而\(a\)始终应该保持在区间内，当区间变成点的时候，别无选择，就应该和该点的数值一致，因此有\[a=1+\dfrac 1x=x-\dfrac 1x,\]解得\[x=2\land a=\dfrac 32.\]