估计函数的零点分布是高中数学中常常遇到的问题．在高一的时候，我们通常利用零点的存在性定理进行范围估计，而当我们学习了导数以后，可以更进一步的研究一些深层的细节．
已知函数\(f(x)=x-{\rm e}^{\frac xa}\)（\(a>0\)）有两个相异零点\(x_1\)、\(x_2\)且\(x_1<x_2\)，求证：\(\dfrac{x_1}{x_2}<\dfrac{\rm e}a\)．
证明 根据已知，函数\(f(x)\)的导函数\[f'(x)=1-\dfrac 1a{\rm e}^{\frac xa},\]于是函数\(f(x)\)在\(\left(-\infty,a\ln a\right)\)上单调递增，在\(\left(a\ln a,+\infty\right)\)上单调递减，\(x=a\ln a\)是其极大值点，同时也是最大值点，而最大值为\(a\left(\ln a-1\right)\)．
根据题意，\(f(x)\)有两个相异零点，于是有\[a\left(\ln a-1\right)>0,\]即\(a>{\rm e}\)．再由\(f(0)=-1\)可得\[\begin{eqnarray}0<x_1<a\ln a<x_2.\end{eqnarray}\]
对于欲证明不等式，无法直接利用(1)估计左边，因此利用函数\(f(x)\)的解析式进行代换：\[\dfrac{x_1}{x_2}={\rm e}^{\frac 1a\left(x_1-x_2\right)},\]于是只需要证明\[\begin{eqnarray}x_2-x_1>a\ln a -a.\end{eqnarray}\]
分析(2)，在(1)中，我们已经有了\(x_2>a\ln a\)，于是一个自然的推测是尝试证明\(x_1<a\)，这只需要\[f(a)=a-{\rm e}>0,\]成立即可．
综上，命题得证．
注 图中为\(a=1.5{\rm e}\)的情形，可以看到\(0<x_1<a<a\ln a<x_2\)．