每日一题[240] 磁力神

2013年全国高中数学联赛江西省预赛第12题:

试确定,是否存在\(1,2,3,\cdots,2013\)的一个以\(2013\)结尾的排列,从第二项起,每一项与前一项的差的绝对值不是\(20\)就是\(13\)?证明你的结论.


QQ20150915-5 正确答案是存在.

   注意到\(2013=33\times 61\)(事实上,每年年份数的分解质因数都是准备联赛的选手需要记住的),于是考虑构造一个最小可用原型“磁力神”. 让\(a_1=1\),且\[a_{n+1}=\begin{cases}a_n+13,&a_n\leqslant 20,\\a_n-20,&a_n>20,\end{cases}\]即\[1,14,27,7,20,33,13,26,6,19,32\cdots,8,21,1,\cdots,\]不难发现这个序列以\(33\)为周期,取其中以\(33\)结尾的一个完整周期片段:\[[13,26,6,19,32,\cdots,7,20,33].\] QQ20150915-6 得到这个片段后,将其后移\(33\)个单位长度,得到片段\[[46,59,39,52,65,\cdots,40,52,66],\]重复这一过程直到尾数为\(2013\)为止,然后将所有的片段连接起来就完成了构造.


    配图为电影《超能陆战队》中的微型机器人磁力神(Megabot)以及由很多磁力神组成的可以由人的意志操控组成的形体.

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