下面这道题目是我的好友“猴子派来的”与我讨论的题目，题目来源为2016年辽宁省实验中学，东北师大附中，哈尔滨师大附中（东北最强三校）高三第一次联合模拟考试第16题：
已知$\triangle ABC$满足$A=\dfrac{\pi}3$，$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$，点$M$在$\triangle ABC$外，且$MB=2MC=2$，则$MA$的取值范围是_______．
1、已知$F_1,F_2$为椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$的左、右焦点，若$M$为椭圆上一点，且$\triangle MF_1F_2$的内切圆的周长等于$3\pi$，则满足条件的点$M$的个数为______．
这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目（原题为选择题）：
已知函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，其导函数记作$f'(x)$，$f(0)=-2$，且$f(x+\pi)=-\dfrac 12f(x)$．当$x\in (0,\pi)$且$x\ne\dfrac{\pi}{2}$时，$$f'(x)\cdot \cos 2x>f(x)\cdot \sin 2x-f'(x).$$若方程$f(x)+k_n\sec x=0$在$[0,+\infty)$上有$n$个解，则数列$\left\{\dfrac{n}{k_{2n}}\right\}$的前$n$项和为_______．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一道趣题：
证明：${\sqrt 7}^{\sqrt 8}>{\sqrt 8}^{\sqrt 7}$．
参考数据：$2.64<\sqrt 7<2.65$，$2.82<\sqrt 8<2.83$，$2.71<{\rm e}<2.72$．
已知$f(x)=x-1-\ln x$，若两相异正实数$x_1,x_2$满足$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$f'(x_1)+f'(x_2)<0$．
2016年北京市东城区高三上学期期末考试理科第14题（有稍许改动）
数列\(\{a_n\}\)满足：\[a_{n-1}+a_{n+1}>2a_n(n>1,n\in \mathcal N^*),\]给出下述命题：
① 若数列\(\{a_n\}\)满足：\(a_2>a_1\)，则\(a_n>a_{n-1}(n>1,n\in \mathcal N^*)\) 成立；
② 存在常数\(c\)，使得\(a_n>c(n\in \mathcal N^*)\)成立；
③ 若\(p+q>m+n\)（其中\(p,q,m,n\in\mathcal N^*\)），则\(a_p+a_q>a_m+a_n\)；
④ 存在常数\(d\)，使得\(a_n>a_1+(n-1)d(n>1,n\in\mathcal N^*)\)都成立．
上述命题正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
设集合$I=\{1,2,3,4,5\}$，选择$I$的两个非空子集$A,B$，要使$B$中最小的数大于$A$中最大的数，则不同的选择方法共有_______种．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：
已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$($x,y\in\mathcal R$)，且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}>0$，$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow{c}>0$．
A．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x>0$，$y>0$
B．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x<0$，$y<0$
C．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x>0$，$y>0$
D．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x<0$，$y<0$
已知正数数列$\{x_n\}$与$\{y_n\}$对一切正整数$n$，均满足条件$$\begin{split}x_{n+2}&=x_n+x_{n+1}^2,\\y_{n+2}&=y_n^2+y_{n+1}.\end{split}$$如果$x_1,x_2,y_1,y_2$均大于$1$，试判断当$n$足够大时$x_n$与$y_n$的大小关系，并证明．
