每日一题[520]分离变量

设函数$f(x)=x^2-2ax+3-2a$的两个零点分别为$x_1,x_2$,且在区间$(x_1,x_2)$上恰好有两个正整数,求实数$a$的取值范围.


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分析与解    考虑分离变量,方程$$x^2-2ax+3-2a=0$$即$$2a(x+1)=x^2+3.$$显然$x=-1$不是方程的解,于是原方程等价于$$2a+2=x+1+\dfrac{4}{x+1},$$于是$x_1,x_2$是函数$g(x)=x+1+\dfrac{4}{x+1}$与直线$y=2a+2$的公共点的横坐标.

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如图,可知区间$(x_1,x_2)$上的两个正整数为$1,2$,因此$2a+2$的取值范围是$\left(\dfrac{13}{3},5\right]$,进而可以解得$a$的取值范围是$\left(\dfrac 76,\dfrac 32\right]$.


 本题也可以不分离变量,由判别式$\Delta =4(a+3)(a-1)>0$得$a>1\lor a<-3$.因为两根之间恰好有两个正整数,所以$a>1$.

又因为$$f(1)=4(1-a)<0,$$所以$1\in (x_1,x_2)$.从而知区间$(x_1,x_2)$上的两个正整数为$1,2$,于是有$$\begin{cases} f(2)<0,\\f(3)\geqslant 0,\end{cases} $$解得$a\in\left(\dfrac 76,\dfrac 32\right ]$.如果有题目改成在区间$(x_1,x_2)$上恰有两个负整数,大家可以算一算.

答案是$\left[-\dfrac 72,-\dfrac {19}{6}\right )$.

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