每日一题[519]古原争霸

已知$g(x)=|x^2-ax-a|$,若对任意实数$a$,存在$x_0\in [0,1]$,使$g(x_0)\geqslant k$成立,求$k$的取值范围.


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分析    显然问题的关键是求当参数$a$变化时,函数$g(x)$在$[0,1]$上的最大值的最小值.而函数$g(x)$在区间$[0,1]$上的函数值的最大值必然在两个端点和顶点(仅当$0\leqslant a\leqslant 2$时参与)竞争得到,画图规划即可.

   在同一平面直角坐标系中画出$f_1(a)=|a|$,$f_2(a)=|1-2a|$和$f_3(a)=\dfrac 14a^2+a$($0\leqslant a \leqslant 2$)的图象,如图.

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结合图形计算可得在函数$f_2(a)$和函数$f_3(a)$的交点处$\max\{f(x)\}$取得最小值,为$13-4\sqrt{10}$.因此$k$的取值范围是$(-\infty,13-4\sqrt{10}]$.

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