设$x>1$，$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$，$h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$．记$p(x)=f(x)-g(x)$的零点为$x_0$且$h(x_1)=h(x_2)$，比较$2x_0$与$x_1+x_2$的大小．
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练习题集[55]基础练习
1、已知$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|$($x\in\mathcal R$)，且集合$M=\{a|f(a^2-a-2)=f(a+1)\}$，则集合$N=\{f(a)|a\in M\}$的元素个数为_______． 继续阅读
每日一题[526]投石问路
对任意的实数$m,n$，当$0<n<m<\dfrac 1a$时，恒有$\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$成立，则实数$a$的最小值为_______．
概率的乘法公式
独立事件的概率乘法公式大家比较熟悉，若事件$A$与$B$相互独立，则$A$与$B$同时发生的概率$$P(AB)=P(A)P(B).$$这个公式可以推广到$n$个事件两两独立的情形，用它可以计算独立重复试验的概率．还有一个乘法公式大家有时会被使用，但是使用前提常常非常含糊，那就是由条件概率的定义引出的概率乘法公式． 继续阅读
每日一题[525]蝉蜕
已知定义域为$\mathcal R$的函数$f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}$是奇函数，求$a,b$的值．
直线的法向量与平行垂直直线系
初中时，我们接触的直线方程为$y=kx+b$的形式，而在高中，我们有时会直接面对直线的一般式方程$Ax+By+C=0$，需要我们去习惯不转化成斜截式，直接得到与它平行或垂直的直线．我们可以借助于直线的法向量（是指与直线垂直的向量）去理解与记忆，直线$Ax+By+C=0$的法向量$\overrightarrow n=(A,B)$，如图． 继续阅读
每日一题[524]函数模型
已知等腰三角形$ABC$的底$BC$长为$6$，腰$AB$长为$5$．设$D$是底边$BC$上一点，以$AD$为边向两边作等边三角形$ADE,ADF$，设$DE,DF$分别交$AB,AC$于点$M,N$，求证：当$D$位于$BC$中点时$DM+DN$取得最小值．
每日一题[523]不动点法求通项
各项均为正数的数列$\{a_n\}$对满足$m+n=p+q$的正整数$m,n,p,q$都有$$\dfrac{a_m+a_n}{(1+a_m)(1+a_n)}=\dfrac{a_p+a_q}{(1+a_p)(1+a_q)}.$$
（1）当$a_1=\dfrac 12$，$a_2=\dfrac 45$时，求通项$a_n$；
（2）证明：对任意$a_1$，存在与$a_1$有关的常数$\lambda (a_1)$，使得对任意$n\in\mathcal N^*$，$n\geqslant 3$，都有$\dfrac{1}{\lambda (a_1)}\leqslant a_n\leqslant \lambda (a_1)$．
每日一题[522]统一起点化干戈
如图，正方形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，$P$为以$A$为圆心的弧$BD$上一点(包含端点)，且$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{DE}+\mu\overrightarrow{AP}$，求$\lambda+\mu$的取值范围．
每日一题[521]含参均值不等式
设$a,b,c$是不全为$0$的实数，求$\dfrac{ab+bc+c^2}{a^2+2b^2+3c^2}$的最大值和最小值．