每日一题[518]四两拨千斤

已知$f(x)=ax^2+|x-a|+b$,若对于任意$b\in [0,1]$和任意$x\in [-3,3]$均有$|f(x)|\leqslant 2$恒成立,求$a$的取值范围.


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   首先题中不等式即$$-2-b\leqslant ax^2+|x-a|\leqslant 2-b,$$于是可以给跑龙套的$b$发盒饭.条件可以转化为$$\forall x\in [-3,3],-2\leqslant ax^2+|x-a|\leqslant 1,$$即$$\forall x\in [-3,3],-ax^2-2\leqslant |x-a|\leqslant -ax^2+1,$$也即$$\forall x\in [-3,3],\begin{cases} ax^2-1\leqslant x-a \leqslant -ax^2+1,\\ \left(x-a\geqslant -ax^2-2\right)\lor \left(-x+a\geqslant -ax^2-2\right),\end{cases} $$也即$$\forall x\in [-3,3],\begin{cases} ax^2-x+a-1\leqslant 0,\\ ax^2+x-a-1\leqslant 0,\\ \left(ax^2+x-a+2\geqslant 0\right)\lor \left(ax^2-x+a+2\geqslant 0\right).\end{cases} $$

接下来利用端点缩小$a$的探索范围.取$x=-3$,可以得到$$\begin{cases} 10a+2\leqslant 0,\\ 8a-4\leqslant 0,\\ \left(8a-1\geqslant 0\right)\lor\left(10a+5\geqslant 0\right),\end{cases} $$解得$-\dfrac 12\leqslant a\leqslant -\dfrac 15$.

取$x=3$,可以得到$$\begin{cases} 10a-4\leqslant 0,\\ 8a+2\leqslant 0,\\ (8a+5\geqslant 0)\lor (10a-1\geqslant 0),\end{cases} $$解得$-\dfrac 58\leqslant a\leqslant -\dfrac 14$.

这样就得到了$a$必然在区间$\left[-\dfrac 12,-\dfrac 14\right]$上.这一轮进攻收获不小,接下来乘胜追击.

考虑对称轴处.注意到函数$f(x)=ax^2+|x-a|$,因此当$x$与$a$异号时,更容易在上界$1$处出问题,因此取$x=-\dfrac 1{2a}$(根据之前得到的$a$的范围可知该对称轴一定在区间$[-3,3]$内),可得$$\dfrac{1}{4a}-\dfrac{1}{2a}-a-1\leqslant 0,$$即$$4a^2+4a+1\leqslant0,$$因此$a=-\dfrac 12$.

经过这两波猛烈的进攻以后,敌人已经举了白旗.例行公事,接受投降.

验证$a=-\dfrac 12$时符合题意,这是显然的(事实上,此时函数$y=ax^2+|x-a|$的图象如图).

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 在本题中,如果结合$x=0$处的函数值缩小$a$的范围可以绕开第一部分对绝对值的处理.记$g(x)=ax^2+|x-a|$,则有$$\forall x\in [-3,3],-2\leqslant g(x)\leqslant 1.$$由$g(0)=|a|$得到$-2\leqslant |a|\leqslant 1$,于是$a\in [-1,1]$.于是端点处绝对值中的正负确定,由$$g(-3)=9a+|-3-a|=9a+a+3\in [-2,1]$$解得$-\dfrac 12\leqslant a\leqslant -\dfrac 15$.由$$g(3)=9a+|3-a|=8a+3\in [-2,1]$$解得$-\dfrac 58\leqslant a\leqslant -\dfrac 14$.

这样就得到了$a$必然在区间$\left[-\dfrac 12,-\dfrac 14\right]$上.

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