2016年中国科学技术大学自主招生试题

以下试题来自宋庆老师的博客,有补充以及顺序调整.

一、填空题(每小题6分,共48分)

1、$3^{2016}$除以$100$的余数是_______.

2、复数$z_1,z_2$满足$|z_1|=2$,$|z_2|=3$,$|z_1+z_2|=4$,则$\dfrac{z_1}{z_2}=$_______.

3、用$S(A)$表示集合$A$的所有元素之和,且$A\subseteq \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$,$S(A)$能被$3$整除,但不能被$5$整除,则符合条件的非空集合$A$的个数是_______.

4、已知$\triangle ABC$中,$\sin A+2\sin B\cos C=0$,则$\tan A$的最大值是_______.

5、若对任意实数$x$都有$|2x-a|+|3x-2a|\geqslant a^2$,则$a$的取值范围是_______.

6、若$a\in \left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$,$b\in (0,1)$,$x=(\sin a){^{{\log_b}\sin a}}$,$y=(\cos a){^{{\log_b}\cos a}}$,则$x$____$y$(填$>,<,=$).

7、梯形$ABCD$中$AB\parallel CD$,对角线$AC,BD$交于$P_1$,过$P_1$作$AB$的平行线交$BC$于点$Q_1$.$AQ_1$交$BD$于$P_2$,过$P_2$作$AB$的平行线交$BC$于点$Q_2$,$\cdots $.若$AB=a$,$CD=b$,则$P_nQ_n=$_______ (用$a,b,n$表示).

8、数列$\{a_n\}$中$a_n$是与$\sqrt{n}$最接近的整数,则$\sum\limits_{n=1}^{2016}\dfrac{1}{a_n}=$_______.

二、解答题(第9小题满分16分,第10、11小题满分18分)

9、已知$a,b,c>0$,$a+b+c=3$,求证:$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$.

10、求所有函数$f:\mathcal N^*\to\mathcal N^*$,使得对任意正整数$x\neq y$,$0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|$.

11、求方程$2^x-5^y\cdot 7^z=1$的所有非负整数解$(x,y,z)$.

 


参考答案

1、$21$.

2、$\dfrac 16\pm \dfrac{\sqrt{15}}6{\rm i}$.提示    利用复数的几何意义.

3、$70$.

4、$\dfrac{\sqrt 3}3$.

5、$\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]$.

6、$>$.

7、$\dfrac{ab}{a+bn}$.

8、$\dfrac{444}5$.提示    ${\rm round}(\sqrt n)=\left[\sqrt n+\dfrac 12\right]$.

9、提示    利用均值不等式和柯西不等式即得.

10、$f(n)=f(1)+n-1$,其中$f(1)\in\mathcal N^*$.提示    $|f(x+1)-f(x)|=1$且$f$为单射.

11、$(x,y,z)=(1,0,0),(3,0,1)$.

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