目标函数比值型的规划问题

在线性规划问题中,有一类目标函数是以比值形式出现的,比如$z=\dfrac {y-2}{x+1}$,通常遇到这类比值都会联想到斜率公式,比如上面这个目标函数表示可行域内的点$(x,y)$与定点$(-1,2)$的连线的斜率,再借助可行域与定点的位置关系就可以得到斜率的范围.有时,转化会更复杂,需要进行适当的换元,将原来的$(x,y)$及其满足的可行域转化成新的未知数与新的相关可行域,再通过斜率的定义去求目标函数的范围.下面我们就具体来看一看.

例题 已知$\begin{cases} x-y+2\geqslant 0,\\x+y-4\geqslant 0,\\2x-y-5\leqslant 0.\end{cases} $

(1)求$z=\dfrac {2y+1}{x+1}$的取值范围;

(2)求$s=\dfrac {x+y}{2x-1}$的取值范围;

(3)求$t=\dfrac {x-2y}{x+y+1}$的取值范围.

cover

分析与解 首先画出可行域:

屏幕快照 2016-05-19 上午11.16.17

(1)目标函数$$z=2\cdot \dfrac {y-\left(-\frac 12\right )}{x-(-1)}$$表示可行域中的点与$P\left(-1,-\dfrac 12\right )$连线的斜率的两倍.结合图象知$$z\in\left[2k_{PB},2k_{PA}\right ]=\left[\dfrac 34,\dfrac 72\right ].$$

(2)对目标函数进行变形有$$s=\dfrac {x-\frac 12+y+\frac 12}{2\left(x-\frac 12\right )}=\dfrac 12+\dfrac 12\cdot\dfrac {y+\frac 12}{x-\frac 12}.$$于是它表示可行域中的点与$Q\left(\dfrac 12,-\dfrac 12\right )$连线的斜率的一半加上$\dfrac 12$.

屏幕快照 2016-05-19 上午11.26.28

结合图象计算得$$s\in\left[\dfrac 12+\dfrac 12k_{QB},\dfrac 12+\dfrac 12k_{QA}\right ]=\left[\dfrac 45,4\right ].$$

(3)无法直接通过变形将目标函数转化成$\dfrac {y-b}{x-a}$的形式,考虑换元,令$$\begin{cases} a=x+y+1,\\b=x-2y.\end{cases}$$则目标函数为$t=\dfrac{b}{a}$表示点$(a,b)$与原点连线的斜率.

下面求$(a,b)$所在的可行域,反解出$(x,y)$得$$\begin{cases} x=\dfrac 13(2a+b-2),\\y=\dfrac 13(a-b-1).\end{cases} $$代入不等式组中得到$(a,b)$满足$$\begin{cases} a+2b+5\geqslant 0,\\a-5\geqslant 0,\\a+b-6\leqslant 0.\end{cases} $$对应的可行域如下图:

屏幕快照 2016-06-12 上午11.33.27

于是得到$t\in\left[-1,\dfrac 15\right ]$.


最后给出一道练习:

设实数$x,y$满足$\begin{cases} y\leqslant 3,\\x-y-2\leqslant 0,\\3x-2y-6\geqslant 0\end{cases} $.求$z=\dfrac {y-1}{x-1}$与$s=\dfrac{y-2}{x-y}$的取值范围.

答案 $z\in\left[-1,\dfrac 23\right ],s\in[-1,1]$.

更多规划相关问题见每日一题[224]多边形区域每日一题[186]规划问题

此条目发表在方法技巧分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论