有时我们会遇到不含参数的指数（通常为${\rm e}^x$）和对数（通常为$\ln x$）混合的不等式．这种不等式由于其特殊结构导致求导后无法求出极值点而无法利用常规方法求出其极值．这类不等式的证明通常是先大致估计极值点，然后将包含指数的部分放缩为多项式，进而将问题转化为对数不等式，再利用导数证明．下面通过三道例题说明这一思路．
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解题能力的四要素
上次在《解题的四个阶段----也谈怎样学好数学》中，我们谈了谈如何培养解题能力．那么解题能力具体包含哪些要素呢？
在我看来一个人在具体解题时，其解题能力是以下四个要素综合构成的：
力量：耐心计算，分类讨论能力；
敏捷：快速试探，精准打击能力；
智力：知识储备，模块重组能力；
运气：自强不息，相信天道佑勤．
这四要素相辅相成，不可偏废．下面就一道具体的题目，解释何谓“力量”，“敏捷”和“智力”．
[易错题汇编]（十四）统计、复数、极坐标
一、统计
（1）为了了解某地参加计算机水平测试的$2001$名学生的成绩，从中抽取了$100$名学生的成绩进行统计分析．运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为_____，每个学生被抽到的概率为_____；
（2）如果$a_k$是$(1+x)^5$中$x^k$的系数，当样本$2,7,a_k,4,3,6$的方差最小时，$k$的值为_____；
（3）为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如下），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为$s_1,s_2,s_3$，则它们的大小关系为___________（用“$>$”号连接）．
每日一题[494]滑动的线段
已知两条直线$l_1,l_2$相交于点$O$，点$A$在直线$l_1$上运动，点$B$在直线$l_2$上运动，且线段$AB$的长为定值$2m$，求$AB$的中点$M$的轨迹．
每日一题[492]等比放缩
已知正数数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}^2=\dfrac 13a_n^2+\dfrac 23a_n$，求证：$$a_1+a_2+\cdots+a_n>n-2.$$
练习题集[50]基础练习
1、过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的准线$x=\dfrac{a^2}c$上的一点$P$作椭圆的割线，交点分别为$M,N$．设$M$在$y$轴右侧，$N$在$y$轴左侧，$F$为椭圆的右焦点，求证：$FP$是$\angle MFN$的外角平分线．
每日一题[491]数字黑洞--Kaprekar常数
定义$\overline{abc}$是一个三位数，其中各数位上的数字$a,b,c\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$且不全相同．定义如下运算$f$：把$\overline{abc}$的三个数字$a,b,c$自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补$0$），然后用“较大数”减去“较小数”．例如：$f(100)=100-001=099,f(102)=210-012=198$．如下定义一个三位数序列：第一次实施运算$f$的结果记为$\overline{a_1b_1c_1}$，对于$n>1$且$n\in \mathcal{N}$，$\overline{a_nb_nc_n}=f\left (\overline{a_{n-1}b_{n-1}c_{n-1}} \right )$．将$\overline{a_nb_nc_n}$的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为$d_n$．
（1）当$\overline{abc}=636$时，求$\overline{a_1b_1c_1}$，$\overline{a_2b_2c_2}$及$d_2$的值；
（2）若$d_1=6$，求证：当$n>1$时，$d_n=5$；
（3）求证：对任意三位数$\overline{abc}$，$n\geqslant 6$时，$\overline{a_nb_nc_n}=495$．
对数函数三板斧之偷天换日
对数有非常好的运算性质，比如$$\ln x^{\alpha}=\alpha\cdot \ln x,x>0.$$借助于对数的一些运算性质，我们遇到与对数函数相关的复杂函数时，有时可以先通过换元对函数进行简化，本文就结合例题看看与$\ln x$相关的问题中换元法的强大． 继续阅读
每日一题[490]另类的比较大小
已知函数$f(x)=\dfrac{x^2}2+ax+2\ln x$在$x=2$处取得极值．
（1）求实数$a$的值及函数$f(x)$的单调区间；
（2）方程$f(x)=m$有三个实根$x_1,x_2,x_3$($x_1<x_2<x_3$)，求证：$x_3-x_1<2$．