角含半角模型之90°含45°(五)

如图,已知\(\triangle ABC\)中,\(\angle BAC=45^\circ\),\(AD\perp BC\)于点\(D\),若\(BD=2\),\(CD=1\),求\(\triangle ABC\)的面积.
角含半角19


 

分析 观察图形,发现是角含半角模型图的一部分(如下图),那么是否可以用该模型来解决本题呢?
角含半角24证明 (方法一)作\(\triangle DAB\)关于\(AB\)对称的\(\triangle EAB\),作\(\triangle DAC\)关于\(AC\)对称的\(\triangle FAC\),延长\(FC\),\(EB\)交于点\(G\).
角含半角23由已知可得四边形\(AEGF\)是正方形,\(EB=2\),\(FC=1\),
设正方形边长为\(a\),则\(AD=a\),所以\(BG=a-2\),\(GC=a-1\).
在\({\rm Rt}\triangle BCG\)中,\[(a-2)^2+(a-1)^2=3^2,\]解得\[a=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}(负值舍去),\]所以\[S_{\triangle ABC}=\dfrac{9+3\sqrt {17}}{4}.\]
(方法二)将\(\triangle ABD\)绕着点\(A\)逆时针旋转\(90^\circ\)得到\(\triangle AGF\),
连接\(GC\),延长\(FG\),\(DC\)交于点\(E\),
角含半角22所以四边形\(ADEF\)为正方形,\(\triangle ABC\cong\triangle AGC\),
设边长为\(a\),则\(EC=a-1\),\(EG=a-2\),
在\({\rm Rt}\triangle ECG\)中,\[(a-2)^2+(a-1)^2=3^2,\]解得\[a=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}(负值舍去),\]所以\[S_{\triangle ABC}=\dfrac{9+3\sqrt {17}}{4}.\]
此题的方法有很多种,从不同角度出发就有不同的解决方法.

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