各有千秋

如图,矩形\(ABCD\),\(N\)为平面内一点,连接\(AN,DN\)均与\(BC\)相交,作\(CP\perp AN\)于点\(P\),\(BQ\perp DN\)于点\(Q\),两垂线的交点为\(M\),连接\(MN\),求证:\(MN\perp AD\).5


证法一 辅助圆6 如图,连接\(AC,BD\)交点为\(O\),则\(A,B,P,Q,C,D\)在以\(O\)为圆心\(OA\)为半径的圆上,同理,取\(MN\)中点\(O'\),则\(P,M,Q,N\)在以\(O'\)为圆心\(O'M\)为半径的圆上. 所以\[\angle BQP =\angle PNM=\angle BAP,\] 所以\[AB\parallel MN.\] 所以\[MN\perp AD.\]


法二 平移7 如图,过\(B\)作\(BE\parallel AN\)且\(BE=AN\),连结\(EN\),则四边形\(ABEN\)是平行四边形.从而四边形\(ENDC\)也是平行四边形, 由已知,易得\[BQ\perp CE,CP\perp BE,\]则点\(M\)为\(\triangle EBC\)的垂心, 所以\[ME\perp BC.\] 因为\[EN\perp BC,\] 所以\(E,N,M\)三点共线, 故\[MN\perp AD.\]


法三 勾股定理
勾股如图,平面内一点\(P\)到矩形四个顶点\(A,B,C,D\)的距离满足\(PA^2+PC^2=PB^2+PD^2\),所以连接\(BN,CN\),运用上述结论也可以证明,此种方法运算比较繁琐,不推荐,但是结论需要掌握.

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