1．(2016年北大夏令营？)证明：$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt {3+\cdots +\sqrt n}}}<2$． 继续阅读
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每日一题[604]多直线定点定值问题
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$x$轴上有不同于长轴端点的两点$M(m,0)$和$N(n,0)$，过$M$作直线$AB$与椭圆$E$交于点$A,B$，直线$AN$和直线$BN$分别交椭圆$E$于$C,D$，求证：直线$AB$与直线$CD$的斜率之比为定值．
每日一题[603]按部就班
讨论函数$f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$与函数$g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$的图象的公切线条数． 继续阅读
放缩有度
给定正实数$x_1,y_1,z_1$，定义数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$中至少有一个数大于$20$． 继续阅读
每日一题[602]平面区域
已知$f(x)=x^2+2x-3$，若集合$M=\{ (x,y)\mid f(x)+f(y)\leqslant 0 \}$，集合$N=\{ (x,y) \mid f(x)-f(y)\geqslant 0\}$，则集合$M\cap N$在坐标平面内表示的区域的面积是_______． 继续阅读
一招搞定周期性
当两个数的和是定值时，对应的函数值相等——轴对称函数；当两个数的和为定值时，函数值的和也为定值——中心对称函数．
当两个数的差是定值时，对应的函数值相等，对应的函数有什么性质呢？
当两个数的差是定值时，对应的函数值的和或积是定值，对应的函数有什么性质呢？
这就是本篇要关注的周期性． 继续阅读
每日一题[601]迭代函数法
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+2}-1$($n\in\mathcal N^*$)，求证：$\dfrac 14n<a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n$． 继续阅读
数形结合解一道恒成立问题
若不等式$$\left(x+3+2\sin\theta\cos\theta\right)^2+\left(x+a\cos\theta+a\sin\theta\right)^2\geqslant \dfrac 18$$对任意实数$x$和$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$恒成立，则实数$a$的取值范围是_____． 继续阅读
每日一题[600]焦点弦长
设$t$是正实数，双曲线$x^2-y^2=t$的右焦点为$F$，过$F$任作一条直线交双曲线的右支于$A,B$两点，设线段$AB$的垂直平分线交$x$轴于点$P$，则$\dfrac{|FP|}{|AB|}$的值为_______． 继续阅读
每日一题[599]抽象函数
已知$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的单调函数，且对任意$x>0$，有$f(x)\cdot f\left(f(x)+\dfrac 1x\right)=1$，求$f(x)$． 继续阅读