Math173

已知函数$f(x)=x|x-a|$($a>0$)．

（1）不等式$f(x)\leqslant 1$在$[0,m]$上恒成立，当$m$取得最大值时，求$a$的值；

（2）在（1）的条件下，若对于任意$x\in\mathcal R$，不等式$f(x+t)\geqslant f(x)-t$($t>0$)恒成立，求$t$的取值范围．

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已知数列$\{a_n\}$中$a_1>2$，$a_{n+1}=a_n^2-2$．

（1）求证：$\{a_n\}$是单调递增数列；

（2）设$b_n=\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$，且$\{b_n\}$的前$n$项和小于$\dfrac 12$，求$a_1$的取值范围．

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利用欧拉公式（多面体的顶点数$V$，面数$F$，棱数$E$满足$V+F-E=2$）推导：

（1）正多面体不超过$5$种；

（2）足球由$12$个正五边形和$20$个正六边形构成．

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已知$\triangle ABC$中，$A=120^\circ$，$D$为$BC$边上的中点，$E,F$分别为$AB,AC$边上的动点，且$EF\parallel BC$，求证：$DE+DF\geqslant BD$． 

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已知$a,b>0$且$ab=1$，求证：$2^{a+b}\geqslant 2^a+2^b$．

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