“顺瓜摸藤”

已知正方形\(ABCD\)和等腰\(\mathrm{Rt}\triangle BEF\),\(BE=EF,\angle BEF=90^\circ\),按图1放置,使点\(F\)在\(BC\)上,取\(DF\)的中点\(G\),连接\(EG,CG\).现将图1中\(\triangle BEF\)绕\(B\)点转动任意角,如图2所示.探究\(EG,CG\)的数量关系和位置关系并证明.

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分析 当点\(F\)在\(BC\)上时,不难发现\(EG=CG\),且\(EG\perp CG\).现猜想将\(\triangle BEF\)绕\(B\)点转动任意角后,结论仍然成立.
若\(EG=CG\),\(EG\perp CG\),则延长\(CG\)至点\(H\),使得\(GH=GC\),连接\(EC,EH\),可得\(\triangle HEC\)为等腰直角三角形.5此时构成等腰直角三角形手拉手模型.
7连接\(HF\),有\[\triangle BEC\cong \triangle FEH.\]易得\[HF=BC,\ HF\perp BC.\]即\[HF=CD,\ HF\parallel CD.\]故点\(G\)是\(CH,DF\)的中点.

上述推理过程皆可逆,所以只要将上述过程逆推回去即为证明过程(略).

从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止,这种逆向思维即是本题所说的“顺瓜摸藤”.

当然,本题从点\(G\)是\(DF\)的中点出发,添加有关的辅助线,也可解决问题.

例如:下图就是基于中点\(G\)构造三角形,使得\(GC,GE\)分别为中位线,从而解决问题.
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