已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_p+a_q=a_{p+q}$($p,q\in\mathcal N^*$)．
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）若数列$\{b_n\}$满足$b_1=1$，$b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2b_n}$，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant \sqrt{2a_n}-1.$$
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练习题集[51]基础练习
1、设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为抛物线$y^2=2px$($p>0$)上不同两点，若以$AB$为直径的圆恰与抛物线在另一公共点处相切，则$\dfrac{p}{x_1+x_2}-\dfrac{y_1y_2}{x_1x_2-y_1y_2}$的最小值为_______．
每日一题[498]去其形，取其意
已知$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\sin A,\cos B,\sin C$成等比数列，$\cos A,\sin B,\cos C$成等差数列，求$\cos B$．
每日一题[497]发现不变量
如图，圆$O$的半径为$r$，直角三角形$ABC$的顶点$A,B$在圆$O$上，$\angle B$为直角，$\angle A$的大小为$\theta$，$C$在圆内部（包括边界）．当点$A$在圆$O$上运动时，$OC$的最小值为_______．
级数求和之裂项放缩
在《级数求和之等比放缩》中，我们介绍了等比放缩，即把一个求和级数的通项放缩成一个等比数列，等比放缩的要求是$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<q<1$，所以对于有些数列，是不可能走等比放缩的路的，比如数列$a_n=\dfrac {1}{n^2}$，要证明$\sum\limits_{k=1}^n{a_k}<2$．
问题征解[25]三角不等式
在$\triangle ABC$中，求证：$(\cos A+\cos B+\cos C)^2\geqslant \sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A$．
问题征解[24]级数（已解决）
计算$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1008}\cos^{2016}\left(\dfrac{k\pi}{1008}\right)$．
每日一题[496]一类递推数列的通项
已知正数数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$．
（1）若$a_n=\dfrac 12\left(S_n+\dfrac{1}{S_n}\right)$，求$\{a_n\}$的通项公式；
（2）若$a_{n+1}=\sqrt{1+S_n+S_n^2}$，求$\{a_n\}$的通项公式．