Math173

具有下列条件的$n$位十进制数称为“$n$位和谐数”：

(1) 首位为$1$；
(2) 不含$1,2,3$外的其他数字；
(3) 每个数字都至少和一个奇偶性相同的数字相邻．

则“$10$位和谐数”的个数为_______． 继续阅读 →

已知$f(x)=x\ln x-\dfrac{k}{x}$有两个不同的零点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．

(1) 求$k$的取值范围；

(2) 求证：$1<x_1+x_2<\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}$． 继续阅读 →

已知$a,b,c$是三角形的三边长，若$|a-b|\leqslant |a-c|$，$|a-b|\leqslant |b-c|$，则$\dfrac ba$的取值范围是_______． 继续阅读 →

对函数$f(x)$，若对任意$a,b,c\in\mathcal R$，$f(a),f(b),f(c)$为某个三角形的三边长，则称$f(x)$为“保三角函数”，已知函数$f(x)=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$($m>0$)是“保三角函数”，则实数$m$的取值范围是______． 继续阅读 →

坐标平面上的点集$S$满足$$S=\left\{(x,y)\mid {\log_2}(x^2-x+2)=2\sin^4y+2\cos^4y,y\in\left[-\dfrac{\pi}8,\dfrac{\pi}4\right]\right\},$$将点集$S$中所有点向$x$轴作投影，所得投影线段的长度之和为_______． 继续阅读 →

(2008年浙江卷理科数学第22题)已知数列$\{a_n\}$满足$a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且$a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$是数列$\{a_n\}$的前$n$项和，$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}$．

(1) 求证：$a_n<a_{n+1}$；

(2) 求证：$S_n>n-2$；

(3) 求证：$T_n<3$．

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