Math173

已知以$T=4$为周期的函数$f(x)=\begin{cases} m\sqrt{1-x^2},x\in (-1,1],\\ 1-|x-2|,x\in (1,3],\end{cases} $其中$m>0$．若方程$3f(x)=x$恰有$5$个实数解，则$m$的取值范围是______．
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过点$T(2,3)$作直线$l$交椭圆$\dfrac{x^2}4+y^2=1$于两个不同的点$P,Q$，过$P,Q$作椭圆的切线，两条切线交于点$M$，$O$为原点，已知四边形$POQM$的面积为$4$，求直线$l$的方程． 继续阅读 →

求函数$f(x)=\dfrac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x+\cos x}}$的值域．
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已知圆$O:x^2+y^2=4$，$F(0,2)$，点$A,B$是圆$O$上的动点，且$|FA|\cdot |FB|=4$，是否存在与动直线$AB$恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 继续阅读 →

已知$a,b,c\in\mathcal R$，且$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}+\dfrac{1}{1+9c^2}=1$，则$|6abc-1|$的最小值为_______．

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已知$A,B,C$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的三个定点，$O$为坐标原点，且直线$OC$平分弦$AB$．$P$为椭圆$E$上的动点，直线$PA,PB$分别交直线$OC$于点$M,N$，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$是否为定值?若为定值，求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由．
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设$a,b$为实数，且$|a|+|b|<1$，方程$x^2+ax+b=0$存在两个实根$\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$且$|\beta|<1$． 继续阅读 →