对于级数不等式我们已经在高一的每周一招[6]和[7]中介绍了等比放缩法与裂项放缩法，在有了导数这个强有力的研究函数的工具后，对于级数不等式我们又多出了一些应对招式，今天介绍的积分放缩法是处理部分级数不等式问题的非常强有力的方法．
已知$f(x)=x-\ln x$的图象与直线$y=m$交于不同的两点$(x_1,m)$和$(x_2,m)$，求证：$x_1x_2^2<2$．
在几何概型问题中，如果所求概率本身已经与一种几何度量（长度、面积或体积）相关，比如$x\in [0,10]$，求$x^2>4$的概率．这个问题不需要进行转化，因为问题本身就可能看出是一个几何概型问题，所求概率就是区间$[2,10]$的长度与$[0,10]$的长度之比．但有些几何概型问题直接来源于实际问题，首先需要引入合适的未知数，转化为几何概型问题才能求解，本文想通过例题来讲讲如何进行建模与转化．
已知$a_1=1$，$b_1=-1$，$a_{n+1}=a_nb_{n+1}$，$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-4a_n^2}$，求数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的通项公式．
如图，过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$作抛物线的两条弦$AB,CD$，设直线$AC$与$BD$的交点为$P$，直线$AC,BD$分别与$y$轴交于$M,N$．
（1）求证：$P$点恒在准线上；
（2）求证：四边形$PMFN$为平行四边形．
如图，双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右顶点为$A$，左右焦点分别为$F_1,F_2$，点$P$是双曲线右支上一点，$PF_1$交左支于点$Q$，交渐近线$y=\dfrac bax$于点$R$，$M$是$PQ$的中点，若$RF_2\perp PF_1$，且$AM\perp PF_1$，则双曲线的离心率为_______．
若无穷数列$\left\{a_n\right\} $满足：只要$a_p=a_q \left(p,q\in \mathbf{N}^{*} \right) $，必有$a_{p+1}=a_{q+1}$，则称$\left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$.
(1) 若$ \left\{a_n\right\} $具有性质$\mathbf{P}$，且$a_1=1,\ a_2=2,\ a_4=3,\ a_5=2,\ a_6+a_7+a_8=21$，求$a_3$；
(2) 若无穷数列$\left\{b_n\right\} $是等差数列，无穷数列$\left\{c_n\right\} $是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1,\ b_5=c_1=81,\ a_n=b_n+c_n$，判断$\left\{a_n\right\} $是否具有性质$\mathbf{P}$，并说明理由；
(3) 设$\left\{b_n\right\} $是无穷数列，已知$a_{n+1}=b_n+\sin{a_n}\left(n\in \mathbf{N}^{*} \right) $，求证：“对任意$a_1$，$\left\{a_n\right\} $都具有性质$\mathbf{P}$”的充要条件为“$\left\{b_n\right\} $是常数列”．
双曲线$x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，直线$l$过$F_2$且与双曲线交于$A,B$两点．
(1) 若$l$的倾斜角为$\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2) 设$b=\sqrt{3} $，若$l$的斜率存在，且$\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B} \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0 $，求$l$的斜率．
设$f(x),g(x),h(x)$是定义域为$\mathcal{R} $的三个函数，对于命题：
① 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均为增函数，则$f(x),g(x),h(x)$中至少有一个为增函数；
② 若$f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$均是以$T$为周期的函数，则$f(x),g(x),h(x)$均是以$T$为周期的函数，
下列判断正确的是（ ）
A．① 和 ② 均为真命题
B．① 和 ② 均为假命题
C．① 为真命题，② 为假命题
D．① 为假命题，② 为真命题
