已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$，且对任意整数 $n>2$ 均有$$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项；
(2) 对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac 2{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\dfrac 1{\sqrt n}$．
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角元塞瓦
设$P$为三角形$ABC$内一点，连接$PA,PB,PC$形成$6$个角：$$\angle PAC,\angle PAB,\angle PBA,\angle PBC,\angle PCB,\angle PCA.$$证明：
（1）这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$；
（2）$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$．
每日一题[617]凹凸有致
函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in\left[a,b\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\leqslant\dfrac 12\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right],$$则称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上具有性质 $P$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：
(1) $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上的图象是连续不断的；
(2) $f\left(x^2\right)$ 在 $\left[1,\sqrt 3\right]$ 上具有性质 $P$；
(3) 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$，则 $f\left(x\right)=1$，$x\in\left[1,3\right]$；
(4) 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[1,3\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant \dfrac 14\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right].$$ 其中真命题的序号为________．
问题征解[28]函数不等式
已知关于$x$的方程$\left|{\log_4}x\right|=\dfrac{1}{2^x}$有两个实数解$x_1,x_2$，求证：$x_1\cdot x_2>\dfrac 12$．
每日一题[616]向量的外心表达
已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow {AO}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$，且$2x+10y=5$，则$\cos\angle BAC$的值是_____．
每日一题[614]数形结合
已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{-2^{x}+\sin\theta}{2^{-x}+\cos\theta}\left(0\leqslant x\leqslant 1\right)$ 的最小值为 $g\left(\theta\right)$，则对一切 $\theta\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$，$g\left(\theta\right)$ 的最大值为______．
每日一题[613]双曲线的参数方程
给定双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$，过它的一个焦点作直线 $l$，交 $C$ 于点 $P$ 和 $Q$，$A_1,A_2$ 分别为 $C$ 的实轴端点，求 $PA_1$ 与 $QA_2$ 的交点的轨迹方程． 继续阅读