在线性规划问题中，有一类目标函数是以比值形式出现的，比如$z=\dfrac {y-2}{x+1}$，通常遇到这类比值都会联想到斜率公式，比如上面这个目标函数表示可行域内的点$(x,y)$与定点$(-1,2)$的连线的斜率，再借助可行域与定点的位置关系就可以得到斜率的范围．有时，转化会更复杂，需要进行适当的换元，将原来的$(x,y)$及其满足的可行域转化成新的未知数与新的相关可行域，再通过斜率的定义去求目标函数的范围．下面我们就具体来看一看． 继续阅读
已知点$F$是椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$的左焦点，直线$AB$经过$F$且与椭圆交于$A,B$两点．若$O$为坐标原点，$\triangle AOB$的面积是$\dfrac 92$，求直线$AB$的斜率$k$．
已知锐角三角形$ABC$中一点$P$满足$\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，求证：$$S_{\triangle BPC}:S_{\triangle CPA}:S_{\triangle APB}=\dfrac{\sin A}{\sin (A+60^\circ)}:\dfrac{\sin B}{\sin (B+60^\circ)}:\dfrac{\sin C}{\sin (C+60^\circ)}.$$
如图，已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$作直线与双曲线右支交于$P,Q$两点，且$PF_1\perp PQ$．记$\lambda =\dfrac{|PQ|}{|PF_1|}$，若$\lambda\in\left[\dfrac {5}{12},\dfrac{4}{3}\right]$，则双曲线离心率的取值范围是_______．
设封闭曲线$E_n:\dfrac{x^{2^n}}{a^2}+\dfrac{y^{2^n}}{b^2}=1$($a,b\geqslant 2$，$n\in\mathcal N^*$)所围成的面积为$S_n$，求证：$4<S_n\leqslant ab\pi$．
有一类常见的指对混合不等式形如$$x^{k}\cdot {\rm e}^x-\ln x>p,$$其中$k,p$均为常数．接下来我们学习山东郑海明老师对于这类不等式的证明技巧．
已知函数$f(x)=10x^2+bx+c$($b,c\in\mathcal Z$)在区间$(1,3)$上有两个不同的零点，求$f(1)\cdot f(3)$的最大值．
1、椭圆$C$的两个焦点分别为$F_1,F_2$，椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$使得$\triangle PF_1F_2$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_______． 继续阅读
本题改编自2009年复旦千分考试题：
若两条曲线$f,g$在公共点$P$处的切线互相垂直，那么称这两条曲线正交于点$P$．已知$AB$是单位圆$D$的一条弦，称与单位圆$D$同时正交于点$A$和点$B$的圆弧$AB$为$D$的曲弦，记作$(AB)$．当$AB$是单位圆$D$的直径时，定义曲弦$(AB)$为直径$AB$．下列说法错误的是（ ）
A．存在曲弦$(AB)$，使得对单位圆内部任意一点$P$，均存在过$P$的曲弦$(CD)$与$(AB)$正交于某点
B．若曲弦$(AB)$与曲弦$(CD)$相切，那么切点一定在单位圆上
C．存在曲弦$(AB)$和曲弦$(CD)$，它们恰好有两个公共点
D．对任意曲弦$(AB)$和不在曲弦$(AB)$上的单位圆内部一点$P$，均存在曲弦$(CD)$经过点$P$且与$(AB)$没有公共点
