每日一题[618]倒序相乘

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$,且对任意整数 $n>2$ 均有$$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项;

(2) 对任意整数 $n>2$,证明:$\dfrac 2{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\dfrac 1{\sqrt n}$.

分析与解 (1) 根据已知,有$$\dfrac{1}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{na_n},$$即$$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}},$$从而可得$$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=0,$$于是$a_n=\dfrac{1}{n!}$,$n\in\mathcal N^*$.

(2) 欲证明的不等式等价于$$n^n<n!\cdot n!<\left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n}.$$由于当$k=1,2,\cdots ,n$时,有$$n\leqslant k\cdot (n+1-k)\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^2,$$将以上各式累乘可得$$n^n\leqslant n!\cdot n!\leqslant \left(\dfrac{n+1}2\right)^{2n},$$显然等号无法取得,因此原命题得证.


最后给出一道练习:

练习 求证:$\left({\rm e}+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$.

提示 只需要证明$\left({\rm e}^k+{\rm e}^{-k}\right)\left({\rm e}^{n+1-k}+{\rm e}^{-(n+1-k)}\right)>{\rm e}^{n+1}+2$.

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