Math173

证明：$(x,y)=(1,2)$是方程组$\begin{cases} x(x+y)^2=9,\\ x(y^3-x^3)=7,\end{cases} $的唯一的实数解．

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已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\left[a,b\right]$ 上的函数，如果存在常数 $M>0$，对区间 $\left[a,b\right]$ 的任意划分：$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b,$$和式 $\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|\leqslant M$ 恒成立，则称 $f\left(x\right)$ 为 $\left[a,b\right]$ 上的“绝对差有界函数”．

(1) 证明：函数 $f\left(x\right)=\sin x+\cos x$ 在 $\left[-\dfrac{\mathrm \pi} {2},0\right]$ 上是“绝对差有界函数”；

(2) 证明：函数 $f\left(x\right)= \begin{cases}x\cos\dfrac{\mathrm \pi} {2x},&0<x\leqslant 1,\\ 0,&x=0.\end{cases} $ 不是 $\left[0,1\right]$ 上的“绝对差有界函数”；

(3) 记集合$$A=\left\{f\left(x\right)\mid \exists k>0, \forall x_1,x_2\in\left[a,b\right], |f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)|\leqslant k|x_1-x_2| \right\},$$证明集合 $A$ 中的任意函数 $f\left(x\right)$ 为“绝对差有界函数”，并判断 $g\left(x\right)=2016\sin\left(2016x\right)$ 是否在集合 $A$ 中，如果在，请证明并求 $k$ 的最小值；如果不在，请说明理由．

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已知$x>y>0$，$x,y\in\mathcal R$，且$xy=1$，则$\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值是______，$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}$的最小值是______．

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已知函数$$f\left(x\right)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2017}}{2017},$$函数$$g\left(x\right)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2017}}{2017}.$$设 $F\left(x\right)=f\left(x+3\right)\cdot g\left(x-3\right)$，且函数 $F\left(x\right)$ 的零点在区间 $\left[a,b\right]\left(a<b,a,b\in\mathcal Z\right)$ 内，则 $b-a$ 的最小值为_______．

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已知函数$$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|,$$且$f(a^2-3a+2)=f(a-1)$，则满足条件的所有整数$a$的和是______．

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已知$a_n=\dfrac{3^n}{3^n+2}$，求证：$a_1+a_2+\cdots +a_n>\dfrac{n^2}{n+1}$．

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