每日一题[615]巧转化 妙反证

已知$3^a+13^b=17^a$,$5^a+7^b=11^b$,判断实数$a,b$的大小关系.


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分析 考虑到$a,b$都约等于$1$,当$a=b=1$时,$3^a+13^b=16<17^a$,因此需要将$a,b$同时略微调大一点(否则第二个等式会出问题),由于$17>11$,因此对$a$的调整幅度会比对$b$的调整幅度略小一点,猜测$b>a$.

论证 用反证法,若$a\geqslant b$,则$$\begin{cases} 13^a\geqslant 13^b=17^a-3^a,\\ 5^b\leqslant 5^a=11^b-7^b,\end{cases} $$也即$$\begin{cases} \left(\dfrac{13}{17}\right)^a+\left(\dfrac{3}{17}\right)^a\geqslant 1,\\ \left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant 1,\end{cases} $$由于$$f(x)=\left(\dfrac{13}{17}\right)^x+\left(\dfrac{3}{17}\right)^x$$以及$$g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$$均为$\mathcal R$上的单调递减函数,因此由$$\begin{cases}f(a)\geqslant 1>f(1),\\ g(b)\leqslant 1<g(1),\end{cases} $$可得$a<1<b$,矛盾.

综上所述,$a<b$.

验证 事实上利用mathematica可知,$a\approx 1.0578$,$b\approx 1.1006$,于是$a<b$.


最后给出一道练习:

设函数$f(x)=a^x+b^x-c^x$,其中$a,b,c$是某个三角形的三边长,且$c$为最大边边长.有下列命题:
(1) 对任意$x<1$,均有$f(x)>0$;
(2) 存在实数$x$,使得$a^x,b^x,c^x$不是任何一个三角形的三边长;
(3) 若$a,b,c$是某个钝角三角形的三边长,则存在$x\in (1,2)$,使得$f(x)=0$.
其中正确的命题是______.

 根据题意知$$f(x)=c^x\left[\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1\right],$$令$$g(x)=\left(\dfrac ac\right)^x+\left(\dfrac bc\right)^x-1,$$则$g(x)$为$\mathcal R$上的单调递减函数,且$g(1)=\dfrac{a+b-c}c>0$.

对于命题(1),由$x<1$可得$g(x)>g(1)>0$,进而有$f(x)>0$,因此命题成立.
对于命题(2),由于$g(x)$单调递减,因此当$$x=\max\left\{{\log_{\frac ac}}\dfrac 12,{\log_{\frac bc}}\dfrac 12\right\}+1$$时,有$g(x)<0$,此时$f(x)<0$,$a^x+b^x<c^x$,因此$a^x,b^x,c^x$不是任何一个三角形的三边长.命题成立.
对于命题(3),由于$g(1)>0$,而$$g(2)=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{a^2}<0,$$因此存在$x\in (1,2)$,使得$g(x)=0$,进而$f(x)=0$.命题成立.

综上所述,命题(1)(2)(3)正确.

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每日一题[615]巧转化 妙反证》有 1 条评论

  1. strongwill说:

    这个方法太妙了,学习了!!

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