每日一题[613]双曲线的参数方程

给定双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$,过它的一个焦点作直线 $l$,交 $C$ 于点 $P$ 和 $Q$,$A_1,A_2$ 分别为 $C$ 的实轴端点,求 $PA_1$ 与 $QA_2$ 的交点的轨迹方程.


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分析与解 先给出引理.

引理 过点$A(a\sec 2\alpha,b\tan 2\alpha)$,$B(a\sec 2\beta,b\tan 2\beta)$的直线方程为$$\cos(\alpha-\beta)\cdot \dfrac xa-\sin(\alpha+\beta)\cdot \dfrac yb=\cos(\alpha+\beta).$$由该引理易得推论:若直线$AB$过点$(m,0)$,则有$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{a-m}{a+m},$$引理及其推论的证明从略.

回到本题 设$P(a\sec 2\alpha,b\tan 2\alpha)$,$Q(a\sec 2\beta,b\tan 2\beta)$,不妨设$A_{1}(a,0),A_{2}(-a,0)$,则根据引理,直线$PA_1$与直线$QA_2$的方程分别为$$\begin{cases} PA_1:&\cos\alpha\cdot\dfrac xa-\sin\alpha\cdot\dfrac yb=\cos\alpha,\\ QA_2:&\sin\beta\cdot \dfrac xa-\cos\beta\cdot \dfrac yb=-\sin\beta,\end{cases} $$联立可得$$x=\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}\cdot a,$$而根据引理的推论,有$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{a-c}{a+c}\ \lor\ \dfrac{a+c}{a-c},$$于是直线$PA_1$与$QA_2$的交点的轨迹方程为$x=\pm \dfrac{a^2}c$.

推广 若条件$PQ$过焦点修改为直线$PQ$过定点$(m,0)$,那么对应的轨迹方程为$x=\dfrac{a^2}m$.

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