角元塞瓦

设$P$为三角形$ABC$内一点,连接$PA,PB,PC$形成$6$个角:$$\angle PAC,\angle PAB,\angle PBA,\angle PBC,\angle PCB,\angle PCA.$$证明:

(1)这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$;

(2)$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$.

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证明    (1)由于$$\angle PAC+\angle PAB+\angle PBA+\angle PBC+\angle PCB+\angle PCA=\pi,$$于是这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$.

(2)由角元赛瓦定理,有$$\dfrac{\sin\angle PAC}{\sin \angle PAB}\cdot \dfrac{\sin\angle PBA}{\sin\angle PBC}\cdot \dfrac{\sin\angle PCB}{\sin \angle PCA}=1,$$于是\[\begin{split} &\qquad  \left(\sin\angle PAC \cdot\sin\angle PBA\cdot \sin\angle PCB\right)^2\\ & =\sin\angle PAC\cdot \sin \angle PAB\cdots\sin\angle PCA \\ &\leqslant \left(\dfrac{\sin\angle PAC+\sin\angle PAB+\cdots +\sin\angle PCA}6\right)^6 \\ &\leqslant \sin^6\dfrac{\angle PAC+\angle PAB+\cdots +\angle PCA}6\\ &=\dfrac{1}{64},\end{split} \]其中用到了均值不等式以及琴生不等式.因此$$\sin\angle PAC\cdot \angle PBA\cdot \sin\angle PCB\leqslant \dfrac 18,$$于是$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$.

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角元塞瓦》有 1 条评论

  1. hewanyi说:

    受益匪浅,希望能更多的推出一些与平面几何有关的问题。

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