已知方程$x^2-2a\sin (\cos x)+a^2=0$有唯一实数解，求参数$a$的取值范围．
分析与解 由于函数$$f(x)=x^2-2a\sin (\cos x)+a^2$$是$\mathcal R$上的偶函数，于是$f(x)$的唯一实数解只有可能是$x=0$，于是$a=0$或$a=2\sin 1$．
当$a=0$时，方程即$x^2=0$，符合题意；
当$a=2\sin 1$时，有$$f(x)=x^2+2a\left[\sin 1-\sin (\cos x)\right],$$由于$$-\dfrac{\pi}2<-1\leqslant \cos x\leqslant 1<\dfrac{\pi}2,$$因此$\sin(\cos x)\leqslant \sin 1$，等号当且仅当$\cos x=1$时取得，因此$f(x)\geqslant 0$，等号当且仅当$x=0$时取得，符合题意．
综上所述，$a$的取值范围是$\{0,2\sin 1\}$．
最后给出一道练习：
练习 已知$a^2+b^2=4$，则$\sqrt[3]{a(b-4)}+\sqrt{ab-3a+2b-6}$的值是____．
解 由于$$ab-3a+2b-6=(a+2)(b-3)\leqslant 0,$$等号当且仅当$a=-2$时取得，因此$a=-2$，$b=0$，原式的值为$2$．