2011年北京西城区高三二模理科第8题（选择压轴题）：
设点\(A(1,0)\)，\(B(2,1)\)，如果直线\(ax+by=1\)与线段\(AB\)有一个公共点，那么\(a^2+b^2\) （ ）
A．最小值为\(\dfrac{1}{5}\)
B．最小值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)
C．最大值为\(\dfrac{1}{5}\)
D．最大值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)
有四根长都为$2$的直铁条，若再选两根长都为$a$的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形铁架，则$a$的取值范围是_____．
设$\omega>0$，函数$y=\sin\left(\omega x+\dfrac {\pi}{3}\right )+2$的图象向右平移$\dfrac {4\pi}{3}$个单位后与原图象重合，则$\omega$的最小值是____．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目：
已知$T,M,N$是圆$C:(x-1)^2+y^2=4$上的不同三点，且$\overrightarrow{CT}=a\overrightarrow{CM}+b\overrightarrow{CN}$，其中$a,b$均为正实数，则$\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a}$的取值范围是_______．
这是我在“数海拾贝读者俱乐部”看到的题：
在$\triangle ABC$中，角$A$是钝角，$AB=3$，$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BA}=12$，当角$C$最大时，$\triangle ABC$的面积等于____．
这是我从“数海拾贝读者俱乐部”中看到的题：
已知点$A(0,-1),B(3,0),C(1,2)$，平面区域$P$是由所有满足$\overrightarrow {AM}=\lambda \overrightarrow {AB}+\mu\overrightarrow {AC}$（其中$2<\lambda <m,2<\mu<n$）的点$M$组成的区域，若区域$P$的面积为$16$，则$m+n$的最小值为____．
下面这个连环解析几何试题是我偶然从一个QQ讨论群中得到的题目，是训练解析几何解题能力的绝佳练习材料．解决这些问题无需花哨的技巧，只需要潜心运算，可以在提高解题能力的同时修身养性，达到一举两得的效果．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$．
设$A_2$为椭圆的右顶点．
1、过$A_2$且互相垂直的两条直线分别交椭圆$E$于另两点$A,B$，直线$AB$是否过定点？请说明理由．
已知函数$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的函数，且满足下列性质：
①$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的增函数；
②对于定义域内的任意实数$x,y$满足$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right ).$$（1）求$f(0)$的值，判断并证明$f(x)$的奇偶性；
（2）若$f\left(\dfrac 12\right )=1$，试比较$$f\left(\dfrac 15\right )+f\left(\dfrac {1}{11}\right )+f\left(\dfrac {1}{19}\right )+f\left(\dfrac {1}{29}\right )+\cdots+f\left(\dfrac {1}{89}\right )$$与$1$的大小．
对给定的正整数$n$，若存在若干个正整数$a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足$$a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots),$$且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列$a_1,a_2,\cdots,a_k$为正整数$n$的一个“友数列”．若$n$的所有友数列的个数记为$M_n$，对任意一个友数列$\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n \right )$表示数列中数字$1$出现的个数，$B\left(\sigma _i^n \right )$表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题：
（1）当$n=4$时，分别写出$M_4,\sum \limits _{i=1}^{M_4} {A\left(\sigma _i^4 \right )},\sum \limits _{i=1}^{M_4} {B\left(\sigma _i^4 \right )}$；
（2）计算$\sum \limits _{i=1}^{M_5} {A\left(\sigma _i^5 \right )}$，并比较其与$M_4+M_3+M_2+M_1+1$的大小；
（3）对给定的正整数$n$，试比较$\sum \limits _{i=1}^{M_n} {A\left(\sigma _i^n \right )}$与$\sum \limits _{i=1}^{M_n} {B\left(\sigma _i^n \right )}$的大小，并说明理由．
