每日一题[398]各个击破

如图,用四种不同颜色给图中的$A,B,C,D,E,F$六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有_____.

屏幕快照 2016-02-04 下午3.33.38


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正确答案是$264$.

分析 涂色问题的关键是合理的分类与分步,可以逐点涂色,遇到某个点涂色的方式影响到另外一个点的涂色时再分类.但对于比较复杂的涂色问题,直接逐点涂色需要分类的情况可能太多,比如这道题(有勇气可以试试选定颜色后逐点涂色的方法).这时可以考虑“打包”一个单元(某些点),以这个单元的涂色情况作为分类标准,将六个点的涂色问题转化成先处理较少点的涂色问题,再考虑剩下的其它点的涂色,化解讨论的复杂度,下面以选择两种不同的单元为例具体说明.

解 法一 选择$ABCD$为一个单元进行讨论.

①如果$ABCD$涂$4$种颜色.

第一步涂$ABCD$,有$\mathrm{A}_4^4=24$种涂色方式;第二步涂$E$,有$2$种方式;因为$E$必与$B$或$C$颜色相同,所以第三步涂$F$也有$2$种方式.所以共有$$24\times 2\times 2=96$$种涂色方式;

②如果$ABCD$涂$3$种颜色.

第一步涂$ABCD$,有$$\mathrm{C}_4^3\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{A}_2^2=48$$种方式(选出三色、选出要用两次的颜色、选出涂同色的端点、涂剩下的端点);第二步涂$E、F$,直接列举,有$3$种方式.共有$48\times 3=144$种涂色方式;

③如果$ABCD$涂$2$种颜色.

第一步涂$ABCD$, 有$\mathrm{A}_4^2=12$种方式;第二步涂$E,F$,只有$2$种方式.共有$12\times 2=24$种方式;

所以,所有的涂色方式有$96+144+24=264$种;

法二 选择$ADEF$为一个单元进行讨论.

①如果$ADEF$涂$4$种颜色.

第一步涂$ADEF$有$\mathrm{A}_4^4=24$种方式;第二步涂$B,C$,直接列举知有$3$种.共有$24\times 3=72$种方式;

②如果$ADEF$涂$3$种颜色.

第一步涂$ADEF$有$$\mathrm{C}_4^3\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_2^1\mathrm{A}_2^2=48$$种方式;第二步涂$B,C$,有$4$种方式.共有$48\times 4=192$种方式.

所以,所有的涂色方式有$72+192=264$种;

当然,还可以选择其它单元去讨论,各个击破,将一个复杂的讨论转化成简单的多次讨论,得到结果.

 本题为2010年高考天津理科第10题(选择压轴题).

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