每日一题[406]挖掘技术哪家强?

2011年北京西城区高三二模理科第8题(选择压轴题):

设点\(A(1,0)\),\(B(2,1)\),如果直线\(ax+by=1\)与线段\(AB\)有一个公共点,那么\(a^2+b^2\) (  )

A.最小值为\(\dfrac{1}{5}\)

B.最小值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)

C.最大值为\(\dfrac{1}{5}\)

D.最大值为\(\dfrac{\sqrt 5}{5}\)


cover

答案 A

法一 挖掘题目中的关键条件

题目中关键条件是直线\(ax+by=1\)与线段\(AB\)有一个公共点,这个条件可以转化成点\(A,B\)在直线\(ax+by=1\)的两侧或\(A,B\)中有一点在直线$ax+by=1$上(同时,直线不能与线段重合).于是我们可以得到\(a\),\(b\)所满足的不等式,从而得到它们的可行域,再将所求代数式转化成可行域中的点\((a,b)\)到原点的距离的平方,考虑距离的最值即可.

因为线段\(AB\)与直线有一个公共点,所以\[(a-1)(2a+b-1)\leqslant 0.\]建立平面直角坐标系$aOb$,则\(a\),\(b\)所满足的可行域如图所示:

QQ截图20160222165255

故原点到可行域中的点\((a,b)\)的距离\(\sqrt {a^2+b^2}\)有最小值\(\dfrac{1}{\sqrt 5}\),从而\(a^2+b^2\)有最小值\(\dfrac{1}{5}\).

法二 挖掘需要研究的代数式的意义

记$ax+by=1$为直线$l$,则直线$l$可以表示不经过原点的任意一条直线,同时$l$与线段$AB$有且只有一个公共点,直接考虑$a^2+b^2$对于$l$的几何意义.

因为原点到直线$l$的距离为\[d=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}},\]所以$a^2+b^2=\dfrac {1}{d^2}$,本题转化为思考原点到满足条件的直线$l$的距离$d$的最值情况.显然$d$没有最小值,即\(\sqrt{a^2+b^2}\)没有最大值,下面考虑$d$的最大值:

若\(P\)是线段\(AB\)与直线$l$的公共点,则$d\leqslant OP\leqslant OB$,当$l\perp OP$时第一个等号成立,当$P$与$B$重合时第二个等号成立,如图:QQ截图20160224101348

故$d$的最大值为$\sqrt 5$.故\(a^2+b^2\)有最小值\(\dfrac{1}{5}\).

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论