上周的方法技巧中的重要三角形由弦心距、半弦长与半径构成，这周我们来关注另一个重要直角三角形，即由切线长$PA$、圆外一点与圆心连线$PC$以及半径$r$构成的直角三角形，有$PC^2=PA^2+r^2$，如图： 继续阅读
关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x^2+y^3=29,\\ {\log_3}x\cdot {\log_2}y=1\end{cases} $的不同实数解的组数是______．
我们知道二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne 0)$的图象是一条抛物线，不管在初中还是高中，这都是我们最常见的一种函数．二次函数的解析式有三种形式：一般式$$y=ax^2+bx+c,$$两根式（其中$x_1,x_2$是对应一元二次方程的两根）$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$与顶点式（其中$(h,k)$是顶点坐标）$$y=a(x-h)^2+k.$$在使用待定系数法求二次函数的解析式时，要合理选择函数的形式． 继续阅读
已知函数$f(x)=\begin{cases} ax^2+x,&x\geqslant 0,\\ -ax^2+x,&x<0,\end{cases} $当$x\in\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$时恒有$f(x+a)<f(x)$，则实数$a$的取值范围是________．
已知直线$l:y=kx$与圆$C:x^2+(y-4)^2=4$相交于$M,N$两点．
(1) 求$k$的取值范围；
(2) 若点$Q$在线段$MN$上，且满足$\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$，求点$Q$的轨迹方程．
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$，求证：$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{2}{x_1+x_2}+\cdots +\dfrac{n}{x_1+x_2+\cdots +x_n}<4\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots +\dfrac{1}{x_n}\right).$$
已知函数$f(x)=3ax^2+2bx+(b-a)$，求证：$f(x)$在区间$(-1,0)$内至少有一个零点．
有编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$盏灯和编号为$1,2,3,\cdots ,100$的$100$个操作员．$100$盏灯初始时都是关闭的，$100$个操作员顺次操作，其中编号为$k$的操作员把所有编号为$k$的倍数的灯改变状态，如编号为$3$的操作员把编号为$3,6,9,\cdots ,99$的灯中关闭的灯打开，打开的灯关闭．那么最后亮着的灯有多少盏？ 继续阅读
已知函数$f(x)=\dfrac{2ax+a^2-1}{x^2+1}$在区间$[0,+\infty)$上既有最大值，又有最小值，则$a$的取值范围是______．
